Hipérbola de Kiepert
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema:
- Hipérbola
La hipérbola de Kiepert de un triángulo ABC es una hipérbola equilátera que pasa por sus vértices, por el ortocentro, como todas las hipérbolas equiláteras circunscritas al triángulo, y además por el baricentro.
Si sobre los lados del triángulo ABC se construyen, hacia el interior o hacia el exterior, triángulos isósceles semejantes BCA', CAB' y ABC', las rectas AA', BB' y CC' concurren en un punto, aquí llamado Z. El lugar geométrico de este punto es la hipérbola de Kiepert. Si los ángulos iguales de los triángulos isosceles tienen una magnitud α, -90° ≤ α ≤ 90°, contadolo positivamente hacia el exterior, el punto Z es función de α. Para algunos valores particulares se obtienen distintos puntos notables del triángulo:
| α | Z(α) | A', B', C' | Notas |
| === | ===== | ======= | ===== |
| 0° | Baricentro | Puntos medios de a, b, c | |
| ± 30° | Puntos ext/int de Napoleón | Centros triángulos equilátero | A'B'C' equilátero |
| ± 45° | Puntos ext/int de Vecten | Centros de cuadrados | |
| ± 60° | Puntos de Fermat o Isogonales | Vérices de triángulos equiláteros | AA' = BB' = CC', ∠AZB = ∠BZC = ∠CZA = 120° |
| ± 90° | Ortocentro | Puntos impropios de AH, BH, CH | |
Puede animarse el valor de α con el control de la esquina inferuior izquierda.
Es bastante sencillo ver, utilizando complejos por ejemplo, que el baricentro de los triángulos A'B'C' coincide con G, el baricentro de ABC.