Klotoida
- Autor:
- Šárka Voráčová
Křivost klotoidy k je přímo úměrná délce oblouku s. Koeficient přímé úměrnosti je většinou velmi malý, proto je používán ve tvaru . Rovnice klotoidy vyjádřená závislostí délky s a křivostí k je tedy
.
V železniční i silniční dopravě se používá pro napojení úseků s různou křivostí. Soustava souřadná je zvolena tak, že bod o křivosti 0 je v počátku, tečna v tomto bodě je osa x (přímý úsek). Pro daný koeficient přímé úměrnosti (dáno pojížděnou rychlostí) vypočítáme délku s klotoidy pro napojení na kružnicový oblouk, jež je veden po oskulační kružnici.
Úloha 1
Určete délku s oblouku klotoidy pro napojení přímého úseku na kruhový oblouk o poloměu r = 15 m.
Řešení: V bodě napojení musí mít klotoida i kruhová zatáčka stejnou křivost , odtud . Dosazením poloměru r=15 m získáme pro délku oblouku s=15 m.
Úloha 2: Změna směru při pohybu po klotoidě
Vypočítejte odchylku přímého úseku a tečny v bodě napojení klotoidy a kruhové zatáčky r =15 m.
Řešení: Derivací parametrických rovnic klotoidy získáme jednotkový vektor tečny ve tvaru
Odtud vzorec pro úhel, který svírá tečna s osou x: . Po dosazení za oblouk s z předchozího příkladu .
Pro hodnotu poloměru r = 15 m získáváme velikost úhlu v radiánech. α =1/2.
Úloha 3: Přechodnice 3. stupně
Nahraďte klotoidu kubickou parabolou.
Řešení: Z Taylorova rozvoje 3. stupně dostáváme aproximaci ve tvaru . Dosazením A=15
je algebraická přechodnice třetího stupně vyjádřená explicitně .
Úloha 4: Napojení dvou kruhových oblouků
Jak dlouhá část klotoidy bude použita pro napojení kruhové zatáčky o poloměru r=450 m a kruhové zatáčky o poloměru r=60 m.
Řešení: V bodech napojení musí mít klotoida i kruhová zatáčka stejnou křivost. Odtud vypočítáme křivočaré vzdálenosti s1, s2 bodů napojení od počátku při pohybu po klotoidě.
Délka použité části přechodnice bude rozdíl s = s1-s2 =433,33 m.
