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Lezione 1. La danza dei numeri complessi: da z a z^n. Spirali nel piano di Argand Gauss

Autor:Roberta Ingitti

NUMERI COMPLESSI E FORME IN CUI POSSONO ESSERE SCRITTI

1. Numero complesso: dalla forma cartesiana alla forma trigonometrica Un numero complesso può essere scritto in forma polare o trigonometrica: dove:
  • è il modulo
  • è l'argomento (l’angolo orientato che il vettore (a,b) forma con il semiasse reale positivo)
Questa forma è molto comoda per svolgere moltiplicazioni e potenze di Numeri complessi, mentre la forma cartesiana più utile per somme e sottrazioni 2. Numero complesso: dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale Allo stesso modo sarà comoda e utile, per le operazioni tra complessi, anche la forma esponenziale di un numero complesso: che si basa sulla formula di Eulero: Basta infatti moltiplicare entrambi i membri della formula di Eulero per: al fine di ottenere la forma esponenziale di un numero complesso. La forma esponenziale è più compatta , utile per prodotti e potenze.

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI SCRITTI IN FORMA CARTESIANA

1. Prodotto di numeri complessi in forma cartesiana Dimostra che: dati i due numeri complessi in forma cartesiana il loro prodotto è: Scrivi sul quaderno la dimostrazione della formula del prodotto tra due numeri complessi in forma cartesiana:

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI SCRITTI IN FORMA TRIGONOMETRICA

2. Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica Dimostra che : dati i due numeri complessi e , il prodotto tra i due numeri è: Notate come i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. Questo fatto è di cruciale importanza per interpretare il significato geometrico della moltiplicazione tra due numeri complessi e, di conseguenza, della potenza di un numero complesso. Scrivi sul quaderno la dimostrazione della formula del prodotto tra due numeri complessi scritta sopra:

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI SCRITTI IN FORMA ESPONENZIALE

3. Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale Dimostra che: dati i due numeri complessi in forma esponenziale, , il prodotto tra i due numeri è: Scrivi la dimostrazione sul quaderno o nello spazio ripsosta.

VISUALIZZAZIONE GEOMETRICA DEL PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI

E' possibile visualizzare in modo molto esplicativo il prodotto tra due numeri complessi con GeoGebra. Nella barra di inserimento di Geogebra sono stati inseriti:
  • il punto , fissato.
  • lo slider, numero che va da 0 a 20, che esprime il modulo di un numero complesso, scritto in forma trigonometrica
  • lo slider , angolo, che va da 0° a 360°
  • il punto, espresso nel seguente modo:
rappresenta un numero complesso fisso rappresenta un numero complesso variabile, di cui possiamo controllare modulo e argomento tramite i due slider e
  • , prodotto tra i due numeri complessi Inseriamo anche i due vettori:
, il vettore originale , il vettore variabile , il vettore trasformato, ovvero il vettore risultato del prodotto tra A e B

OSSERVAZIONE GUIDATA ALL'APPLET DI GEOGEBRA RELATIVA AL PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI

Facciamo alcune osservazioni, al fine di comprendere il significato geometrico della moltiplicazione tra numeri complessi: 1. Fissa e muovi lo slider :

  • Cosa succede alla lunghezza del vettore
  • Cosa cambia nel vettore?
  • Descrivi il movimento del punto .

2. Ora fissa e cambia :

  • Cosa succede a ?
  • Cosa puoi dire sulla lunghezza di e di ?
  • Che movimento descrive il punto ?

Rispondi alle seguenti domande:

  • cosa vuol dire moltiplicare A per un numero complesso , di modulo e argomento ? Rispondi osservando la posizione del punto C
  • esprimi il concetto in termini di trasformazioni del piano. Ovvero, componendo quali trasformazioni otteniamo il punto C, prodotto tra A e B, partendo dal punto A?
  • cosa significa moltiplicare un numero complesso per , unità immaginaria?

DAL PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI ALLA POTENZA DI UN NUMERO COMPLESSO

Sappiamo che la potenza di un numero reale o complesso è una notazione compatta per rappresentare moltiplicazioni ripetute dello stesso numero, ed è fondamentale perché semplifica molto i calcoli e la scrittura di numeri grandi.

POTENZE DI UN NUMERO COMPLESSO

1. Potenza di un numero complesso scritto in forma cartesiana. Assegnato , la potenza n-esima del numero z, si calcola a partire dalla formula della potenza n-esima di un binomio. Risolvi i seguenti esercizi sul quaderno o nello spazio risposta:

POTENZE DI UN NUMERO COMPLESSO

2. Potenza di un numero complesso scritto in forma trigonometrica Per calcolare la potenza (con ), scriviamo in forma trigonometrica e lo moltiplichiamo per se stesso volte. Otteniamo: Prova a fare:

  • ,
  • , per questa potenza sono utili le due seguenti formule, facilmente dimostrabili:
  • , .........
con un po' di calcoli, ti puoi rendere conto che la potenza di un numero comolesso scritto in forma trigonometrica è data dalla seguente formula: Formula di de Moivre. Questo significa che, elevare un numero complesso a potenza diventa molto semplice perchè, invece di eseguire molte moltiplicazioni, basta:
  • elevare il modulo alla
  • moltiplicare l’angolo per
P.S. Al termine dell'attività troverai una bellissima dimostrazione per induzione della formula di De Moivre ESERCIZIO:

POTENZE DI UN NUMERO COMPLESSO - forma esponenziale

3. Potenza di un numero complesso. La potenza (con ) di un numero complesso scritto in forma esponenziale, è data dalla formula , di immediata dimostrazione. Questo significa che, elevare un numero complesso alla potenza diventa ancora più semplice perchè, invece di eseguire molte moltiplicazioni, basta:

  • elevare il modulo alla
  • moltiplicare l’angolo , presente nell'esponente di e, per
ESERCIZIO:

CONSIDERAZIONI SULLE POTENZE DI NUMERI COMPLESSI

Riassumendo, sulla base delle formule espresse sia in forma cartesiana, sia trigonometricae sia in forma esponenziale della potenza di un numero complesso , dopo aver determinato gli esercizi assegnati, fai le dovute considerazioni su quale sia la forma più adeguata di un numero complesso per determinare una sua potenza.

APPROFONDIMENTO 1. DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DE MOIVRE

Dimostrazione della formula di de Moivre Per induzione su
  1. Base ():
Vera.
  1. Passo induttivo: supponiamo che valga per :
Allora per : Usando la regola del prodotto: Ma per le formule di addizione del coseno e seno: Quindi: Induzione completata.

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