Pathologische Funktionen (Kirsch)
Eine einfache und anschauliche Grundvorstellung von Differenzierbarkeit ist die lokale Linearität des Graphen ("sieht bei genügendem Vergrößern gerade aus"), von Nicht-Differenzierbarkeit der irreparable 'Knick'.
Dies ist für den Einstieg in die Thematik in der Schule sinnvoll und hilfreich.
Kirsch hat 1995 aber auch darauf hingewiesen, dass diese Vorstellung nicht die volle Bedeutung des Begriffes abdeckt.
Als anschauliche aber exakte Vertiefung führt Kirsch die "lokale Einschließbarkeit in beliebig enge Sektorstreifen" ein. Kirsch gibt dann drei 'pathologische' Funktionen an, die mit der obigen einfachen Grundvorstellung nicht erfasst werden können, wohl aber mit der Sektorstreifen-Methode von Dörge.
Dies dürfte aber eher für Analysis-Vorlesungen als für die Sekundarstufe II ein Thema sein.
Kirsch schließt mit den Worten: "Durch bloße Beobachtung sukzessiver Ausschnittsvergrößerungen kann hier niemals die Frage der Differenzierbarkeit bei x = 0 entschieden, also nicht erkannt werden, dass die Funktion tatsächlich nicht differenzierbar ist. Dies macht ganz allgemein deutlich, dass eine rein "experimentelle" Auffassung des Funktionenmikroskops unzulänglich bleiben muss: Die Beobachtungen können wohl angemessene Vorstellungen vom Begriff der Differenzierbarkeit vermitteln und begriffliche Präzisierungen provozieren, aber sie können niemals eine exakte Definition ersetzen".