Ableitung als Verstärkungsfaktor
In der Differenzialrechnung werden als typische und bekannte Grundvorstellungen genannt:
Tangentensteigung, lokale Änderungsrate, lokale Linearität.
Eine weitere, weniger bekannte Grundvorstellung ist der Verstärkungsfaktor.
Gegeben ist eine Funktion f auf einem Intervall [a, b] und eine Zahl n.
Das Intervall wird in n Teilstücke der Länge h = (b-a)/n unterteilt.
An den Punkten Pi = (xi, f(xi) werden Steigungsdreiecke mit dx = h = (b-a)/n eingezeichnet.
Die etwas dickeren orangen Katheten dy = h*f'(xi) repräsentieren gewissermaßen dann die Verstärkungsfaktoren von f auf [a, b] bei n Unterteilungen und müssen zu dx ins Verhältnis gesetzt werden. Der Verstärkungsfaktor wäre dann dy/dx = f'(xi).
Bei kleinen n sieht man gut das Prinzip.
Bei mittelgroßen n sieht man, wie sich die hellblauen Hypotenusen ds immer mehr dem Graphen anpassen und scheinbar zu einem Polygonzug werden.
Bei größeren n sind die Steigungsdreiecke dann kaum noch erkennbar und die Punkte Pi liegen auf dem Graphen nahe beieinander.
Die hellblauen Hypotenusen ds könnte man auch eine Spur zeichnen lassen, wenn man den Graphen von f rauf oder runter schiebt (das ist hier noch nicht eingebaut).
Das gäbe dann auch eine Art Richtungsfeld (aber nicht das mathematik-übliche).