Opdeling, to lige høje pyramider - Euklid XII-4

Sætning 4

I tolvte bog af Elementerne er Euklid's fjerde sætning:

Lad to pyramider med samme højde og trekantet grundflade inddeles i to kongruente pyramider ligedannet med de hele pyramider og to ligestore prismer være givet. Da vil grundfladen af den ene hele pyramide forholde sig til grundfladen af den anden hele pyramide som prismerne i den ene pyramide forholder sig til prismerne i den anden pyramide.

(If there are two pyramids of the same height with triangular bases, and each of them is divided into two pyramids equal and similar to one another and similar to the whole, and into two equal prisms, then the base of the one pyramid is to the base of the other pyramid as all the prisms in the one pyramid are to all the prisms, being equal in multitude, in the other pyramid.)

Vejledning

Du kan ændre grundfladerne ved at flytte A, B og C (

) i xy-planet. Du kan ændre højden på begge pyramider ved at skifte tilstand for punkt D, så lodret pil (i stedet for fire vandrette pile) vises.

To lige høje pyramider

Hver pyramide er opdelt i fire legemer: To identiske prismer (pink, violet) og to identiske tetraedre (grønt, beige).

Opgave 1

Forklar ved at "bygge" de to pyramider på jeres bord, altså i 3D, hvad der sker, når toppunkt D flyttes. I kan pege og bruge armbevægelser i jeres forklaring. Hvis I kan finde på en måde at bygge en faktisk 3D-model med de forhåndenværende midler, er I også velkomne til at gøre det. Men det må ikke tage ekstra tid!
Forklar hvordan I får de lodrette pile vist på det grønne punkt (eller ) i Geogebra-appen.
Beskriv, hvad et punkt kan i hver af de to tilstande af et GeoGebra 3D-perspektiv.

Opgave 2

Bemærk, at Euklid ingen formel giver for rumfang i denne sætning (Euklid bruger faktisk slet ikke formler). Kan I bryde Euklid's sætning op og bruge stumperne til at forklare formlen for en pyramides rumfang? Hvordan kommer opdelingen af pyramiden i fire del-legemer Euklids argumentation til gavn?

Referencer

Opdelingen af hver pyramide er behandlet i sætning 3 (Euklid XII-3).
Den engelske tekst er hentet på St. Andrew's College.
Sætning 5 (Euklid, bog XII): To lige høje pyramider.

Om konstruktionen i GeoGebra

Det grønne punkt D er defineret som punkt i et plan c, der er parallelt med xy-planet og med z-koordinat fælles med den anden pyramides toppunkt,

. Planet c er skjult, men antydet af de to stiplede linjestykker fra pyramidernes toppunkter ind til z-aksen. Du kan downloade appen og undersøge den i din lokalt installerede GeoGebra.