Binomialverteilung- Definition und Anwendungen

Wichtige Begriffe und Definitionen

n-stufiges Bernoulli-Experiment (Bernoulli-Versuch) Dies bezeichnet eine Versuchsserie, die aus dem n-maligen Durchführen eines Versuches besteht. Jeder Versuch hat genau zwei Versuchsausfälle ( z.B Münze: "Kopf"und "Zahl", Würfel: "6er" und "kein 6er", "Ereignis" und "nicht Ereignis") und wird unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Die Versuche sind jeweils unabhängig von eineinander. Binomialverteilung BV(n,p) Die Zufallsvariable X nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p.
  • n ist die Anzahl der Versuche
  • p ist die Wahrscheinlichkeit/Häufigkeit, dass das Ereignis E eintritt
  • k gibt die Anzahl der Versuche an, bie der E eintritt. Daher ist k immer kleiner oder gleich n.
P(X=k) = mit und Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Binomialverteilung mit den Parametern n und p. X gibt dabei die Anzahl der Versuche an, bei der E eintritt. z.B Tritt eine Ereignis 5 mal auf, so gilt X= 5. Folgend Bezeichnungen sind zu beachten: P(X = k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X genau den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt genau k mal auf. P(X k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt höchstens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen 0 und k an. P(X k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X mindestens den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen k und n an. P( ) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte zwischen a und b annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens a-mal und höchstens b- mal auf. X nimmt alle Werte zwischen a und b an, wobei
Das Galtonbrett geht zurück auf Sir Francis C. Galton (1822-1911). In dieser Simulation werden Hindernisse - bei einer realen Umsetzung beispielsweise Nägel - in Form eines Dreiecks in 6 Reihen angeordnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel bei einem Hindernis nach links oder rechts fällt, ist gleich groß: . Die Verteilung der Kugeln in den Behältern entspricht einer Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0,5. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel den Weg nach rechts nimmt. 1 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 1·0,56 + 6·0,56 + 15·0,56 + 20·0,56 + 15·0,56 + 6·0,56 + 1·0,56 = 0,0156 + 0,0938 + 0,2344 + 0,3125 + 0,2344 + 0,0938 + 0,0156

Vergleich mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner

Im Vergleich dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0.50.
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p so gilt: Erwartungswert E(X)= = Varianz V(x)= Standardabweichung =

Multiple Choice-Test

Bei einem Multiple Choice-Test mit 10 Fragen gibt es jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Jede der 10 Fragen ist jeweils unabhängig von anderen Fragen beantwortbar. Der Test gilt als bestanden wenn mindestens 5 Fragen richtig beantwortet wurden.

Parameter n und p

Gib jeweils die Parameter n und p für die Fragestellung an.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

5 richtige Antworten

Andreas hat nicht gelernt und kreuzt bei jeder Frage zufällig eine der 4 Antworten an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 5 Fragen richtig beantwortet? Bevor du die Wahrscheinlichkeit berechnest, überlege dir, welches Ergebnis passen könnte.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

Bestandener Test

Angela hat nicht gelernt und kreuzt bei jeder Frage eine Antwort zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Test besteht? Bevor du die Wahrscheinlichkeit berechnest, überlege dir, welches Ergebnis passen könnte.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

Bestandener Test

Lisa hat gelernt und ist sich sicher,dass sie 3 Fragen richtig beantwortet hat. Die übrigen Antworten zu den restlichen Fragen hat sie zufällig angekreuzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Test besteht? Bevor du die Wahrscheinlichkeit berechnest, überlege dir, welches Ergebnis passen könnte.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

Erwartungswert und Standardabweichung.

Berechne den Erwartungswert E(X)= und die Standardabweichung für den Multiple Choice-Test (10 Fragen, jeweils eine von 4 Antwortmöglichkeiten ist richtig)

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

Überlege und probiere aus.

Unter wie vielen Fragen findet sich mit 90%-Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Ankreuzen mindestens eine richtige Antwort? Überlege dir, welche Antwort am "wahrscheinlichsten" wäre und überprüfe deine Annahme mithilfe des Wahrscheinlichkeitsrechner.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)