ES 2.18
- Autore:
- Alice Cattani
Using a ruler and rusty compass, given a line l and a point A more than two inches away from l, construct the perpendicular to l passing through A. (par = 12, done in 11).
PROCEDURA:
Sia r il raggio delle circonferenze tracciate dal compasso rotto. Sia una retta l e sia A un punto non appartenente a l e distante più di 2r da l. Siano inoltre B e C due punti distinti di l qualsiasi.
- Traccio la retta passante per A e C.
- Traccio la circonferenza di centro C e raggio r. Sia D il suo punto di intersezione con la retta del punto 1.
- Traccio la circonferenza di centro D e raggio r. Sia E il suo punto di intersezione con la retta l.
- Traccio la circonferenza di centro E e raggio r. Sia F il suo punto di intersezione con la circonferenza del punto 2.
- Traccio la retta passante per C e F.
- Traccio la retta passante per A e B. Ripeto il procedimento descritto nei passi 2,3,4 trovando il punto I.
- Traccio la retta passante per B e I. Sia L il suo punto di intersezione con la retta del punto 5.
- Traccio la retta passante per A e L. Tale retta è la retta cercata, ovvero la perpendicolare a l passante per A.
- Considero i triangoli CDE e CFE. CFFEEDDC perché sono tutti raggi di lunghezza r; CE in comune. Per Prop (I.8) △CDE△CFE. In particolare gli angoli DCE e ECF sono congruenti. Analogamente si trova che △GBH△HBI e in particolare gli angoli GBH e HBI sono congruenti.
- Considero ora i triangoli ABC e CBL. Per quanto detto prima, ed essendo CB in comune, per Prop (I.26) si ha △ABC△CBL. In particolare ACCL.
- Considero ora i triangoli ACM e CML. Per quando detto prima, ed essendo CM in comune, per Prop (I.4) si ha △ACM△CML. In particolare gli angoli AMC e LMC sono congruenti.
- Per Prop (I.13) gli angoli AMC e LMC sono retti e quindi la retta passante per A e L è perpendicolare alla retta l data.