Problème de Pappus
Solutions du problème avec quatre droites
Lieu des points C tel que CB.CF = CD.CH où les angles CBA, CDA, CFE et CHG sont donnés en grandeur. Pour simplifier les calculs, nous prenons tous ces angles droits.
La droite (AB) est choisie comme axe des abscisses, AB comme abscisse et CB comme ordonnée,
puis les trois droites (EF), (AD) et (GH), données de position par rapport à la première,
ont pour équations ax + by + c = 0, dx + ey = 0 et fx + gy + h = 0
(avec a² + b² = 1 ; d² + e² = 1 ; f² + g² = 1).
Pour un point C(x0, y0), nous utilisons les mesures algébriques des projections orthogonales :
x0 = AB, y0 = CB, CF = ax0 + by0 + c, CD = dx0 + ey0 et CH = fx0 + gy0 + h.
Remarque : le point C est astreint à se déplacer sur l'ellipse, grâce à la commande « Lier/libérer » du menu « point ».
Pour λ = 1 et λ = – 1, GeoGebra trouve les lieux des points C tel que CB × CF = λ CD × CH (mesures algébriques).
Ce sont deux coniques passant par quatre points situés aux intersections des droites : les points A et G sur la droite (AB), puis les points P et Q situés sur la droite (EF).
Une des deux courbes a été oubliée dans les calculs de Descartes.
Dans la résolution du problème par Descartes, la position relatives des trois dernières droites n'intervient pas et il ne s'intéresse pas au point P intersection de (EF) et (AD), ainsi qu'au point Q intersection de (EF) et (GH). Ces deux points sont pourtant des solutions évidentes du problème.
Si les segments CB, CF, CD ou CH ont des directions données par grandeur, on se ramène au cas de projections orthogonales en multipliant le coefficient λ par les rapports de similitude (sinus des angles entre les droites et les directions).
Les solutions sont toujours des coniques.
GeoGebra Tube :
Cercle solution du problème de Pappus
Parabole du problème de Pappus
Conique de Pappus passant par un point donné
Descartes et les Mathématiques : Le Problème de Pappus
Note sur le problème de Pappus