Aufgaben 11 und 12
Sie haben gerade das Ursprungsproblem der so genannten Differentialrechnung kennengelernt.
Wie soll man die Momentangeschwindigkeit ausrechnen, ohne durch Null zu teilen? Oder mathematisch ausgedrückt: Wie steil ist eine Kurve in einem Punkt?
Von Paris und Britney ein kurzer Abstecher zu Newton und Leibniz:
Newton und Leibniz kamen beide auf die richtige Idee, wie dieses Problem zu lösen ist. Dies war der Ursprung einer neuen mathematischen Theorie. Wir wollen es kurz machen: Beide konnten sich nicht einigen, wer zuerst darauf gekommen ist, es gab einen riesigen Streit zwischen den englischen und den kontinentalen Mathematikern. Am Ende, wie immer, waren beide tot, aber die Menschheit hat ein Wissen geerbt, das bis heute Gold wert ist: Kein Zweig der modernen Wissenschaft kommt ohne Differenzialrechnung aus, ob Biologie oder Wirtschaftswissenschaften, Physik oder Psychologie. Aus Dankbarkeit nennt man diesen Zweig der Physik, den wir im 11. Schuljahr behandeln, Newton'sche Mechanik. Und Leibniz? Der hat ja schon den Keks.
Zurück zu Britney: Ihre momentane Geschwindigkeit an einem Ort können wir nicht als Sekantensteigung ablesen, weil eine Sekante immer zwei Punkte braucht. Lässt man diese Punkte aneinanderrücken, wird aus der Sekante eine Tangente . Unten sehen Sie eine Tagente, die aus einer Sekante entstanden ist. Man definiert die Momentangeschwindigkeit zu einem festen Zeitpunkt als die Steigung der Tangente an dem Graphen im t-s Diagramm.
Aufgabe 11
Notieren Sie in Ihr Logbuch drei bis vier Sätze, in denen Sie das Problem der Momentangeschwindigkeit in eigenen Worten wiedergeben. Beginnen Sie mit der Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit, verwenden Sie auch die entsprechenden Formeln. Beschreiben Sie dann, wie Sie vorgehen würden, um die Momentangeschwindigkeit vorbeifahrender Autos möglichst gut zu schätzen.
Aufgabe 12
(a) Fahren Sie mit der Tangenten am Graphen entlang und lesen Sie die Momentangeschwindigkeit in km/h zu den Zeitpunkten
(1.) 2,5 Min.
(2.) 5 Min.
(3.) 7,5 Min.
(4.) 10 Min. ab.
b) Nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig zu?
c) Wie schnell ist Britney, nachdem Sie 5 km weit gefahren ist?