L'esponenziale "stirata" exp(m·x), alias [exp(m)]ˣ

Autore:
Gae Spes
Sottoponiamo adesso la funzione y=exp(x)=ex ad uno stiramento, come fatto in Trasformazioni fondamentali su una funzione esponenziale . La funzione f(x)=exp(m·x) è la funzione che stira exp in orizzontale di un moltiplicatore 1/m (ricorda come si ricava y=f(x/h) da y=f(x); qui si ha: h=1/m). Siccome la funzione exp in (0,1) - ovvero per x=0 - ha 1 come misura della velocità (ovvero pendenza della retta ivi tangente, che è quindi y=1+x), lo stiramento complessivo di esponenziale con retta tangente in (0,1) trasforma: exp in y=exp(m·x) e la retta y=1+x nella retta y=1+m·x. In breve, la velocità di f(x)=exp(m·x) è m. Ma exp(m·x) = em·x = ( em )x . Quindi, variando il parametro m si ottengono tutte le funzioni esponenziali aventi per base i corrispondenti numeri em. Se, pertanto, un numero a è esprimibile come em, vorrà dire che la funzione y=ax è proprio y=exp(m·x). Chiediamoci quindi se ogni numero positivo a è esprimibile come potenza a=em. E siccome il punto A=(1,em) è proprio il punto di ascissa 1 che sta sulla funzione y=exp(m·x), basterà stabilire se i punti (1,em) assumono tutte le possibili ordinate positive a, al variare di m nell'insieme di tutti i numeri reali.