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Equazione della parabola noto il fuoco e la direttrice

Si definisce luogo geometrico l'insieme costituito da tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo. Analogamente a quanto fatto con la carta, vogliamo costruire con Geogebra il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso e da una retta. Per semplicità prendiamo un punto F(0,p) sull'asse y  e una retta d parallela all'asse x, di equazione y = -p.
  • Nella barra di inserimento scrivi:
F=(0,2) d: y=-y(F)
  • Prendi un punto A sulla retta d Toolbar Image
  • Traccia il segmento AF Toolbar Image
  • Traccia poi l'asse del segmento AF Toolbar Image
  • Infine traccia la perpendicolare a d passante per A Toolbar Image
  • Il punto che cerchiamo è il punto P di intersezione tra l'asse di AF e la perpendicolare a d Toolbar Image
Lo puoi verificare congiungendo P con F e poi con A. Infatti, come ben sai, all'asse di un segmento appartengono tutti e soli i punti equidistanti dagli estremi del segmento (in questo caso da A e da F), in particolare PA è anche la distanza di P da d per cui è verificata la condizione:

Ora rendi attiva la traccia del punto P e muovi il punto A. Cosa ottieni? Sapresti definire il luogo geometrico dei punti tracciati da P?

Con il Comando Luogo Toolbar Image rappresenta il luogo generato dal punto P al variare di A. Il punto F si chiama fuoco e la retta d direttrice. Sposta il fuoco, come varia il luogo? Fai le tue considerazioni.

Ora generalizza con carta e penna. Se F(0,p), la retta d (direttrice) ha equazione: y = -p e il punto P che si muove sulla curva ha coordinate generiche P(x,y). Quale sarà l'equazione del luogo? Ricorda che la proprietà del punto P è:

cioè

svolgendo i calcoli ottieni;

Che relazione c'è tra a e p?

Sapresti esprimere le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice in funzione di a?