Extremwertaufgabe - Maximierung des Volumens
- Autor:
- GeoGebra Materials Team
- Thema:
- Volumen
In diesem Arbeitsblatt erlernst du, wie Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden können. Wenn es gelingt, eine Variable als stetige und differenzierbare Funktion einer Variablen x darzustellen, dann lässt sich für berechnen, an welcher Stelle x ein Extremwert auftritt. So lassen sich bspw., wenn entsprechende Gewinn- oder Kostenfunktionen vorliegen, Gewinne maximieren bzw. Kosten minimieren.
In unserem Beispiel geht es um die Maximierung des Volumens eines Kartons mit quadratischem Grundriss, der aus einer quadratischen Vorlage gewonnen wird (Zuschnittproblem). Hierbei sind für die Laschen vier Einschnitte der Länge b (jeweils ein Einschnitt je kleinem Eckquadrat) zu machen, so dass sowohl die Laschen als auch die Seitenflächen hochgebogen werden können. Die Laschen dienen dabei zum Heften des Kartons (s. II. Quadrant).
Im I. Quadranten werden entsprechende funktionale Zusammenhänge zwischen dem Volumen des Kartons ( Volumen = ) und der Kantenlänge der Eckquadrate ( ) dargestellt.
Problemstellung:
Mit welcher Länge b müssen die Kanten der Eckquadrate gewählt werden, damit das Volumen des entstehenden Kartons maximiert wird?