Cuadriláteros orbitales de un cuadrilátero convexo
En un cuadrilátero convexo [ABCD] se lanza una bola de billar desde un punto E del lado AB. ¿En qué condiciones describirá una órbita cíclica EFGH indefinidamente, recorriendo en orden los cuatro lados?
Al cuadrilátero [EFGH] así determinado, podemos llamarlo cuadrilátero orbital del cuadrilátero [ABCD].
Los ángulos de incidencia y reflexión en cada uno de los puntos E, F, G, y H deben ser iguales. La igualdad de los ángulos en F, G y H implica que si se refleja el cuadrilátero sucesivamente en los cuatro lados, los segmentos EF, FG1, G1H2 y H2E3 quedan alineados.
De la igualdad de los ángulos en E, se deduce entonces que AB y A2B2 deben ser paralelos. Si la órbita es cerrada y simple, es un cuadrilátero simple, se tiene que A2E3 = AE. Esto implica que la longitud de la trayectoria, el perímetro del cuadrilátero [EFGH], es constante cualquiera que sea el punto de inicio E en el lado AB, siempre que la trayectoria pueda completarse en el orden cíclico.
Igualmente la dirección del segmento EF queda determinada por la de los lados AA2 y BB_2 del paralelogramo [ABB_2A_2]. Esto hace que los lados del cuadrilátero [EFGH] permanezcan paralelos a si mismos al variar E sobre el lado AB, con la misma restricción que para el perímetro.
El producto de dos simetrías axiales respecto a ejes secantes es equivalente a un giro en torno al punto de intersección de los ejes y amplitud igual al doble del ángulo que forman estos (Producto de simetrías axiales). Por tanto el segmento A2B1 es el resultado de girar el segmento AB un ángulo 2γ respecto al punto C. Esto se puede apreciar fácilmente con el auxilio de las dos diagonales reflejadas CA1 y CA2.
A su vez, A2B2 es el producto de un giro de A1B1 en torno al punto A2 un ángulo 2α, en el mismo sentido que el anterior.
Por tanto A2B2 es el resultado de girar un ángulo 2α + 2γ el segmento AB. Puesto que estos segmentos son paralelos y α, γ < 180°, este ángulo total es de 360° y α + γ = 180°, por lo que el cuadrilátero [ABCD] debe ser necesariamente cíclico.
Esta es una condición necesaria para la existencia de una órbita periódica, pero no suficiente. Además, como se verá en otro applet en desarrollo, el circuncentro debe ser un punto interior del cuadrilátero [ABCD]. De forma equivalente, todos los ángulos formados en los vértices entre un lado y una diagonal, deben ser agudos.
Como queda dicho, la longitud de la trayectoria es igual a la del segmento EE3, igual a la del segmento AA2, no dibujado. Ésta última se calcula fácilmente aplicando el Teorema del coseno al triángulo isósceles ACA2, cuyos dos lados de longitud m forman un ángulo 2γ, o360° - 2γ. Utilizando las fórmulas del seno del ángulo mitad, nos queda que el perímetro de [EFGH] es s = m sen γ. Naturalmente se puede utilizar el ángulo opuesto, que es el suplementario con el mismo seno, o la otra diagonal. Ésta es una demostración alternativa de una conocida relación entre las diagonales y los ángulos de un cuadrilátero cíclico, como el [ABCD].
En ese caso, todos los proyecciones sobre los lados del punto de corte de las diagonales están en el interior de estos y determinan una órbita periódica. El cuadrilátero [EFGH] así formado resulta ser circunscrito y de área máxima para un cuadrilátero cíclico [ABCD] dado. A este cuadrilátero [EFGH] lo podemos llamar, por similitud con el caso triangular, cuadrilátero órtico del cuadrilátero [ABCD], aunque sería más preciso llamarlo cuadrilátero pedal del punto de corte de las diagonales.