Voorbeeld en opgaven 33, 34 en 35
Voorbeeld
De hellingsfunctie zegt veel over het verloop van een grafiek. Het gaat er dan vooral om waar de hellingen positief, negatief of 0 zijn. Daarvoor heb je geen hellingsgrafiek nodig, een tekenschema van de afgeleide is genoeg.
Je ziet hieronder een tekenschema van de hellingsfunctie van een onbekende functie f.
Schets een mogelijke grafiek van f.
Oplossing:
Als de hellingsfunctie positief is, is de grafiek van f stijgend, als de hellingsfunctie negatief is, is die grafiek dalend. Welke waarden f(x) precies aanneemt is niet bekend.
Kies een startpunt, bijvoorbeeld (0,0) . De helling is daar negatief, dus de grafiek dalend. Hoe steil is onbekend. Verder heeft de grafiek een maximum als x = -1, omdat daar de helling overgaat van positief in negatief. Een minimum treedt op als x = 2, omdat dan de helling van negatief in positief verandert.
Hier zie je drie mogelijke grafieken.
Maar er zijn nog veel meer mogelijkheden.
De grafieken hoeven niet door (0,0) te gaan.
Opgave 33
Bekijk de hellingsgrafiek van functie f.
a. De grafiek van f heeft:
- een maximum voor x = 0.
- geen extremen want de hellingsgrafiek is dalend.
- geen extremen want de grafiek van de functie zelf is ook dalend.
- een maximum voor x = 3.
A
B
C
D
Opgave 34
In het voorbeeld zie je dat een tekenschema van een afgeleide (hellingsfunctie) niet meer is dan een overzicht van waar deze afgeleide positief dan wel negatief is.
Plot de grafiek van de functie y = x3.
Voor x = 0 is de helling van de grafiek van f gelijk aan 0.
Waarom heeft de grafiek van f geen extreme waarde voor x = 0? (Geef alle goede antwoorden aan).
- De grafiek is altijd stijgend, behalve bij x = 0.
- Het tekenschema van de afgeleide wisselt bij x = 0 niet van teken.
- De functie heeft geen horizontale raaklijn voor x = 0.
- De functie heeft wel een horizontale raaklijn voor x = 0, maar gaat daar niet over van stijgend in dalend.
Opgave 35
Je ziet een tekenverloop van de hellingsfunctie van f. De grafiek van f gaat door het punt (0,0).
a. Maak een schets van een mogelijke hellingsgrafiek waar dit tekenschema van zou kunnen zijn afgeleid.
b. Voor welke waarde van x heeft f(x) een maximum?
c. Op welk interval is de grafiek van deze functie dalend?
d. Welke van deze grafieken kan de grafiek van f zijn?
A
B
C
D
