La misura in Radianti
La prima unità di misura che di solito impariamo a conoscere sono i gradi: un angolo giro misura 360°, un angolo piatto è la sua metà e quindi misura 180° e così via. I sottomultipli dei gradi sono i primi (servono 60' per avere 1°) ed i secondi (servono 60'' per avere 1'): si tratta di un sistema sessagesimale, cioè a base 60 (per ottenere il multiplo successivo servono 60 unità). Questa base sembra indicare che molto probabilmente tale sistema ha origine nella misurazione del tempo, e nell'utilizzo di forme circolari (e di angoli definiti al loro interno) per la misura dello stesso, attraverso strumenti quali meridiane ed orologi analogici.
Un sistema alternativo per la misura degli angoli è la misura in radianti, il cui concetto è illustrato nell'animazione qui sotto.
LA DEFINIZIONE DI MISURA IN RADIANTI è quindi il rapporto tra la misura dell'arco sotteso ad un certo angolo e quella del raggio della circonferenza su cui è stato preso l'arco stesso.
Come visto nell'animazione, dato che una circonferenza intera misura l'angolo giro misura , e da questo si possono dedurre proporzionalmente tutti i suoi sottomultipli. In particolare l'angolo piatto misura la metà, quindi , il che ci permette di dedurre una semplice regola di conversione tra gradi e radianti: ogni 180° si hanno radianti e viceversa. Questo rende possibile appoggiarsi ad una proporzione: se devo convertire un angolo in radianti ho:
[così come 180° corrispondono a radianti, gradi corrispondono ad radianti]
Risolvendo la proporzione otteniamo
[divido l'angolo per 180° per scoprire "quanti" 180° contiene, e per ognuno di essi considero un .
Ad esempio , essendo la metà di 180°, sarà
La definizione di radianti che abbiamo dato porta inoltre a due conseguenze. La prima è un'altra definizione di radianti, e cioè che un angolo misura un radiante quando insiste su di un arco lungo quanto il raggio. Non riteniamo che sia molto utile, tuttavia, e la riportiamo, verificandone la coerenza nell'immagine qui sotto, solo perché potresti trovarla in certi testi.
La seconda considerazione è che se si utilizza una circonferenza di raggio unitario, la misura dell'angolo coincide con la lunghezza dell'arco sotteso. Questa osservazione è estremamente utile, anche se ce ne accorgeremo in futuro quando studieremo certi particolari esempi di limiti in analisi e vedremo che grazie ad essa la misura in radianti è la più comoda e "naturale" in assoluto per svolgere certi conti.