ES 37.8

Given the circle Γ and its center O, and given a line l ̸∋ O, give a ruler and compass construction of the circle ρΓ(l) (par = 7 steps).

PROCEDURA E DIMOSTRAZIONE: L'idea di questa costruzione è quella di usare l'esercizio 37.2 due volte. Scelgo quindi due punti A e B appartenenti a l, tali che OA > r e OB >r (è sempre possibile trovare due punti soddisfacenti questa richiesta).
  1. Traccio la circonferenza di centro B passante per O. Siano P e Q le sue intersezioni con .
  2. Traccio la circonferenza di centro Q e passante per O.
  3. Traccio la circonferenza di centro P e passante per O. Sia B' la sua intersezione con la circonferenza del punto 2. Grazie all'esercizio 37.2 sappiamo che B'= (B).
  4. Traccio al circonferenza di centro A passante per O. Siano P' e Q' le sue intersezioni con .
  5. Traccio la circonferenza di centro P' e passante per O.
  6. Traccio la circonferenza di centro Q' e passante per O. Sia A' la sua intersezione con la circonferenza del punto 5. Grazie all'esercizio 37.2 sappiamo che A'= (A).
  7. Traccio la circonferenza passante per O, A', B'. Tale circonferenza è proprio la circonferenza cercata. Infatti, essendo l una retta non contenente O, se chiamiamo l' la sua inversione circolare rispetto a , abbiamo dimostrato che l' è una circonferenza passante O. Inoltre l' deve passare anche per  A'= (A) e B'= (B), dato che i punti A e B appartengono a l. Ma per tre punti passa un'unica circonferenza, quindi la circonferenza per O, A', B' è proprio l'=(l).
Totale passi: 7