12 hasáb
Figyelmébe ajánlom az alábbi anyagot Tarcsay Tamás barátomnak, kollégámnak, továbbá mindazoknak, akiknek ott van a kezük között az itt bemutatott puzzle, - vagy szeretnék, hogy ott legyen.
A puzzle
Egy párizsi (zsib)vásáron megakadt a szemem ezen a 12 (bemetszett) hasábból álló puzzle készleten, amelyhez kaptam egy - vitatható minőségű - összeállítási utasítást.
Amint itthon, nyugodt körülmények között sikerült szétszednem, hamar rájöttem, hogy az összerakása -legalább is nekem - komoly kihívást jelent. (Így félre is tettem ezt a munkát, mintegy 15 évre.)
Most, hogy végül rászántam magam a puzzle összeállítására, szükségét éreztem annak, hogy készítsek hozzá egy - talán használhatóbb - utasítás készletet. Ez egyúttal lehetőséget nyújtott arra, hogy alaposabban kielemezzem a konstrukció geometriai hátterét.
Ahhoz, hogy ezeket az elemeket lerajzoljuk a GeoGebrával, szükség volt a csonkított hasáb - mint konkáv poliéder - csúcsainak a koordinátáira.
A sok vesződséggel összeállított modellt kézbe véve hamar kiderült, hogy a hasábok alap-ill. fedőlapjainak a síkjai egy szabályos oktaédert alkotnak, így az egymáshoz illesztett elemek akkora szöget zárnak be egymással, mint a szabályos oktaéder lapjainak a külső szöge. Ez a GeoGebra eszköztárával könnyen megszerkeszthető, sőt "kézzel" könnyen kiszámítható: α = π - 2atand(sqrt(2)) . A GeoGebrában az atand() függvény az arkusztangens() függvénynek az a formája, amely ívmértékben adja meg a keresett szöget.
Segítség!
Az így kapott szögből kellene kiszámítanunk a bevágások pontjainak a koordinátáit. Például
A =(-4a , 0 , (2sin(α)+(4+2cos(α))ctg(α))a ) -t . Itt a egy tetszőleges konstans, csak az alakzat méretét befolyásolja. Eddig eljutva segítségért kellett folyamodnom, ugyanis jó lenne ezt a képletet egyszerűbb alakra hozni.
Hamarosan az alábbi GeoGebra CAS -al készült megoldást kaptam Tamástól:
Ez már elegendő volt ahhoz, hogy egyenként megadjuk a puzzle elemeit, és a helyükre illesszük őket. Végül készítsünk egy animációt az összeállítás fázisairól.
Hatszögalapú hasábok - animáció
A puzzle elemzése során vetődött fel az a kérdés, hogy milyen térrészt zár közre a 12 hasáb? Ez az alakzat az un. romb-dodekaéder amelyet 12 egybevágó rombusz határol. A fenti animációban szerepet kapott ez a - nem kézbe vehető - közrezárt térrész is, mivel alkalmasint segíthet a kézbe vett modell összeállításában.
Ezt összefüggést hamarabb felismerve talán egyszerűbben is el lehetett volna jutni a bevágott hasábok csúcsainak a koordinátáihoz. De hát a bejárt út ritkán egyezik meg a legjobb (legrövidebb, legszebb) úttal.
Lényeg, hogy készen vagyunk. Vagy mégsem?
Egy kis kitekintés
E munka közben megkérdeztem Gál Péter barátomat, aki a puzzle világának egyik - a hazainak minden bizonnyal a legnagyobb - szaktekintélye: mit tud erről a konstrukcióról?
Ezt a választ kaptam:
A kezemben még nem volt ez a játék, de rögtön ismerősnek tűnt. Szerintem ez Stewart Coffin játéka. Itt látható róla egy leírás: https://johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap13.htm (Hornyolt hatszögletű hasábok, 135. ábra)
Ha érdekes geometriai konstrukciókat akarsz látni, akkor mindenképpen javaslom a fenti linken a többi fejezet meglátogatását is. Egész elképesztő játékai vannak.
Megnéztem. Pontosabban: átfutottam. Egyetértek Péter véleményével, minden érdeklődőnek ajánlom.
Ide másolom az említett rész fordítását:
Ennek a kirakós játéknak három különböző megoldása van, amelyeket a három bevágású darabok elrendezése határoz meg.
A legegyszerűbb és legkézenfekvőbb megoldás, ha ez a három darab három-hornyú elem utoljára kerül be háromszögletű elrendezésben az összeszerelés befejezésekor. (Megj.: ez a fenti megoldás.)
A második megoldásban a három hornyú hasábok egymással párhuzamosak, és van egy kulcs elem, amely utoljára csúszik be. A harmadik megoldás nehezebb.
Ez az az eset eset, amikor a több megoldás érdekesebbé teszi a rejtvényt.
Ezt a kirakós játékot négy szín használatával javíthatjuk, mindegyik színből hármat véve. Ha a három hornyú elemek azonos színűek, akkor az első két megoldás színszimmetriája eltérő lehet. A második megoldás különösen érdekes, mivel minden hasonló színű darab egymással párhuzamos.
Ezt a puzzle-t valamikor Hectix néven műanyagból gyártották, de sajnos soha nem négy színben (egy-két centet spórolva a gyártáson). Néhányat fából gyártottak, ami elég egyszerű munka hatszögletű alapanyaggal és trapézvágóval. Amellett, hogy jelentős potenciállal rendelkezik, mint egy nagyon igényes összeszerelési puzzle, szép szobrot készíthetnénk belőle sárgarézből vagy rozsdamentes acélból, vagy akár betonba öntve, hatalmas méretekben.
(Hivatkozás: 3 721 448 számú amerikai egyesült államokbeli szabadalom, Coffin, 1973.)
Hááát ... igen. Akár Murpy szállóigéi közé is felvehetnénk azt a megállapítást, miszerint egy probléma megoldása arra jó, hogy ezzel több és nehezebb problémát kapjunk a nyakunkba.
A fenti appletet néhány sor átírásával át lehetett alakítani úgy, hogy kapjunk egy másik - helyes illeszkedésű - elrendezést. Viszont azt, hogy ez egy valóban szétszedhető-összerakható megoldás-e, nem tudom. Ugyanis a puzzle készletet kézbe véve nekem nem sikerült így összeraknom az elemeket. Ez persze nem jelenti azt, hogy nem is lehet. Ezért nincs animáció az alábbi appletben.
Kérdés, hogy valóban erre gondolt-e a cikk szezője.
Másik - ugyancsak nyitott - kérdés: vajon mi lehet a harmadik megoldás?
... "tovább is van , mondjam még?
Mivel nem hagyott nyugton az előző két kérdés így kerestem még egy erről a játékról szóló linket: p://www.woodpuzzles.com/Puzzles/HecTix/HecTixSol.html
Itt egy nagyon szemléletes leírást találtam, amely olykor hasznosabb lehet, mint bármilyen kép, vagy animáció. A webhely kissé szabadabb néhol kiegészített fordítása:
1. lépés:
Vegyünk kézbe 3 darabot a két bevágású (az applikáviónkban zöld) elemekből. ezeket állítsuk össze úgy, hogy a közepükön lévő három rombusz egy fészket alkosson. (Olyat, amelybe beleilleszhető az első applikációban megjelenített kék robdodekaéder), majd illesszük hozzájuk függőlegesen, a bevágások mentén a három egy bevágású (nálunk lila) elemet. (Ez a hat elem megállítható az asztalon. Esetleg egy befőtes gumival fogjuk őket össze.)
2. lépés:
Vegyünk kézbe a másik 3 darab két bevágásút, (nálunk türkiz) rakjuk gyűrűként az eddigi hat köré. Ezek csak egyszerre helyezhetők be. Mivel nehéz megtalálni az egymáshoz viszonyított helyzetüket, előbb tegyünk a helyére kettőt, majd vegyük ki , illesszük hozzájuk a harmadikat, és úgy csúsztassuk a helyére egyszerre mindhármat.
3. lépés:
Utoljára adjuk hozzá azt a 3 darabot amelyeken három bevágás van. (Ezeknek a középső rombuszai is ugyanolyan fészket alkotnak, mint az alsó három.) Itt is segít, ha először kettőt rakunk a helyére egymás után, majd ezeket együtt kivéve alakítsuk ki a fészket, és egyszerre csúsztassuk a helyére mindhármat.
Egy ettől eltérő megoldást kapjuk a feladatnak, ha az egyik két bevágású alsó, és hárombevágású (nálunk zöld és sárga) elemet kicseréljük, felcserélve az ezeket metsző egy bevágású függőleges (nálunk lila) elem irányát: felülre téve a bevágását. Ez esetben a négy (nálunk két sárga, egy zöld és egy lila) elemet egyszerre kell becsúsztatnunk.
Azok a szerencsés olvasóim, akiknek ez a készlet e kezükben van, bizonyára ki is próbálják ezt a megoldást is.
Tarcsay Tamás barátom talált néhány You-tube videót, amely bemutatja ennek az - így már barátságosabbnak tűnő - puzzle készletnek az összerakását. Ezek közül ezt találtam a legjobbnak:
https://www.youtube.com/watch?v=rNS4Vt_gDfk
A látottak alapján a nyilvánvalóan fiatal előadónak szép jövőt jósolhatunk. :-)