lancer de ballon prenant en compte la friction
Un ballon de masse m est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale v0 (de norme v0 notée v_0)
faisant un angle α (alpha) avec l'horizontale.
Ce ballon est soumis à la force de pesanteur g et à une force de frottement Ff du type Ff=−bv avec b>0.On choisit comme référentiel le sol, et comme repère un système d'axes cartésiens dont l'axe Ox est horizontal,
dirigé dans le sens du tir et l'axe Oy est vertical, dirigé vers le haut.
L'origine est placée à la position de tir. On cherche à déterminer les équations horaires du ballon.
On écrit la seconde loi de Newton sous la forme : ma−ΣFext=0.
mettre le code ci dessous dans un bouton ok (Geogebra script tab properties du ok button)
avant derniere icône du menu click sur "ok" ,ensuite clik sur fleche select. pour sortir du mode depose bouton et click sur le bouton.
#F_a=F_g + F_f avec F_g=-mg (le sens positif de l'axe y est vers le haut, l'action de la gravité est donc negative )
#F_f=-b*y' proportionelle a la vitesse mais de sens opposé a la vitesse,la vitesse y' etant negative,
#F_f sera bien positive, donc de sens opposé a F_g.
#F=-mg - b*y'
#m*y''=-m*g - b*y'
#forme standard
#y'' + (b/m)*y'=-g
################ solution equ homogene
#y_h=y'' + (b/m)*y'=0
#P(r)==(r-0) *(r-(-b/m))
#y_h solutions= c_1*e^(0*t) + c_2*e^((-b/m)*t)
#solution particuliere
#y'' +(b/m)*y'=-g*e^(0*t)
##zero est racine on ne peut prendre comme solution particuliere -g*e^(r*t)/P(r) on prend donc -g*t*e^(r*t) /P'(r)
#P'(r)=2*r +(b/m) => P'(0)=(b/m)
#y_p=(-g*t*e^(0*t))/P'(0)=-g*t/(b/m)
#y_h+y_p=c_1*e^(0*t) + c_2*e^(-(b/m)*t) - g*t*m/b
#y_h+y_p=c_2*e^(-(b/m)*t) + (c_1*b-g*m*t)/b
#y(t)=c_2*e^(-(b/m)*t) -g*m*t/b + c_1
#y(0)=0 => c_1+c_2=0
#y'(t)=c_2*-(b/m)*e^(-(b/m)*t) - g*m/b
#y'(0)=vy_0=c_2*-(b/m)- g*m/b
#-vy_0=c_2*(b/m)+ g*m/b
#-vy_0 - g*m/b=c_2*(b/m)
#c_2=-(vy_0 + g*m/b)*m/b
#c_1=(vy_0 + g*m/b)*m/b
#y(t)=-(vy_0 + g*m/b)*m/b*e^(-(b/m)*t) -g*m*t/b +(v_0 + g*m/b)*m/b
#vy_0=v_0*sin(theta)
#y(t)=((v_0*sin(theta) + g*m/b)*m/b)*(1-e^(-(b/m)*t)) -g*m*t/b
############### coordonne x #########################
#Fx_a= Fx_f
#x'' + (b/m)*x'=0
#x(t)=c_1*e^(0*t) + c_2*e^((-b/m)*t)
#x(0)=c_1 + c_2
#x'(t)= c_2*(-b/m)*e^((-b/m)*t)
#x'(0)=v_0*cos(theta) => c_2*(-b/m)=v_0*cos(theta)
#c_2=( v_0*cos(theta)*(-m/b))
#c_1=(-v_0*cos(theta)*(-m/b))
#x(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b)) + (v_0*cos(theta)*(-m/b))*e^((-b/m)*t)
################# coordonne y
#y(t)=0*t
#############################################################
#############################################################
################### Geogebra
################## Ballon avec frottement
g=9.81
b=Slider[ 0.01, 1, 0.01]
SetValue[b, 0.76 ]
m=Slider[ 1, 10, 0.1]
SetValue[m, 2.75 ]
v_0=Slider[ 0, 20, 0.01]
SetValue[v_0, 17 ]
theta=Slider[ 0, pi/2, 0.001]
SetValue[theta, 0.72 ]
#distance maxi atteignable
X_{max}(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b))
#
X(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b)) + (v_0*cos(theta)*(-m/b))*e^((-b/m)*t)
Y(t)=((v_0*sin(theta) + g*m/b)*m/b)*(1-e^(-(b/m)*t)) -g*m*t/b
C = Curve[X(t),Y(t), t, 0, 10]
SetColor[X_{max}, "Red" ]
SetColor[X, "green" ]
SetColor[Y, "blue" ]
SetColor[C, "black" ]