Pontos notáveis do triângulo

Cevianas do triângulo

O triângulo é uma figura muito estudada na geometria, por suas propriedades únicas. No que se referentes às cevianas do triângulo temos:
  • Altura: segmento de reta que une a base com o vértice oposto formando um ângulo reto;
  • Bissetriz interna: segmento de reta que une a base com o vértice oposto, dividindo esse ângulo em duas partes iguais;
  • Mediana: segmento de reta que une o ponto médio da base com o vértice oposto;
  • Mediatriz: reta relativa a um segmento, que é perpendicular em seu ponto médio.

Na figura a seguir, a altura e a mediatriz são relativas ao lado AC; a bissetriz e a mediana são relativas ao lado BC. Observe o comportamento destes elementos em diferentes triângulos ABC, movendo os vértices A, B e C.

Cevianas do triângulo

Questão 1. Cevianas

Qual característica a altura e a mediatriz têm em comum?

Questão 2. Cevianas

Considerando os pontos notáveis de um triângulo: baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro, quais são os que podem ser ponto médio de um lado?

Assinale a sua resposta aqui

Pontos notáveis de um triângulo

Cada um desses tipos de segmentos produz divisões do triângulo e, junto com seus prolongamentos, as interseções deles resultam em um ponto. Esse ponto é chamado de PONTO NOTÁVEL. Os pontos notáveis mais conhecidos de um triângulo são:
  • Circuncentro: interseção das mediatrizes;
  • Baricentro: interseção de medianas;
  • Ortocentro: interseção das alturas;
  • Incentro: interseção das bissetrizes dos ângulos internos.
A seguir, apresentaremos os quatro pontos notáveis mais conhecidos.

CIRCUNCENTRO de um triângulo

As mediatrizes de um triângulo são as retas perpendiculares a cada lado do triângulo, traçadas pelo ponto médio desse lado. A interseção das três mediatrizes resulta no ponto O do triângulo, ou seja, seu circuncentro. O circuncentro é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, ou seja, o circuncentro está à mesma distância dos três vértices. Além disso, o circuncentro será interno ao triângulo quando este for acutângulo; externo, se ele for obtusângulo, e coincidirá com o ponto médio da hipotenusa se o triângulo for retângulo.

Nesta representação, as retas cinzas são as mediatrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o circuncentro. Observe a mudança das mediatrizes conforme você muda o formato do triangulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Circuncentro do triângulo

Questão 3. Circuncentro do triângulo

Movimente o ponto B até que o ângulo seja igual a 90º ou aproximadamente igual a 90º . O que você observou sobre o circuncentro do triângulo ABC?

Baricentro de um triângulo

Podemos traçar as medianas de um triângulo ligando o ponto médio da base (lado) com o vértice oposto à base (lado) em que se encontra. Quando traçamos todas as medianas, o ponto de encontro destas é chamado de BARICENTRO (ponto G). O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, e está a uma distância de dois terços da mediana em relação ao vértice correspondente. Além disso, o baricentro sempre é interno ao triângulo, independente da classificação do triângulo quanto a seus lados ou a seus ângulos.

Nesta representação, os segmentos de reta pretos são as mediatrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o circuncentro. Observe a mudança das medianas e do baricentro conforme você muda o formato do triangulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Questão 4. Baricentro do triângulo

O que se pode concluir em relação as medianas do triângulo ABC e a divisão de suas partes?

ORTOCENTRO de um triângulo

As alturas de um triângulo são segmentos que partem de um vértice ao lado oposto ou à reta suporte do lado oposto formando um ângulo reto. Podemos traçar as alturas do triângulo a partir da construção das retas perpendiculares às bases e que passam pelos vértices opostos as respectivas bases. Por estas retas que contém as alturas, encontraremos um ponto notável que chamamos de ORTOCENTRO (ponto H). O ortocentro é interno ao triângulo se ele é acutângulo, coincide com o vértice do ângulo reto se for retângulo e externo ao triângulo se ele for obtusângulo.

Nesta representação, as retas pretas contém as alturas do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o ortocentro. Observe a mudança das alturas e do ortocentro conforme você muda o formato do triângulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Ortocentro de um triângulo

Questão 5. Ortocentro de um triângulo

Seja H o ortocentro do triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BHC = 125º, determine a medida do ângulo A.

Assinale a sua resposta aqui

INCENTRO de um triângulo

Traçando as bissetrizes dos ângulos do triângulo, isto é, dividindo os ângulos internos do triângulo em duas partes iguais, obtemos o INCENTRO (ponto I), pelo encontro das três bissetrizes internas. O incentro fica à mesma distância de todos os lados do triângulo, isto é, ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Por conta disso, esse ponto é sempre interno ao triângulo, independente da medida dos ângulos internos.

Nesta representação, os segmentos de reta pretos são as bissetrizes do triângulo ABC, e o ponto vermelho é o incentro. Observe a mudança das bissetrizes e do incentro conforme você muda o formato do triângulo ABC. [Mova os vértices (pontos azuis) para fazer esta observação.]

Incentro do triângulo