Geometrische Einführung von Vektoren

FACT - Was sind eigentlich Vektoren?

Der Begriff "Vektor" hat in der Mathematik eine sehr allgemeine Bedeutung und findet in mehreren mathematischen Teilgebieten - neben der Geometrie auch in der Algebra und Analysis - zahlreiche Anwendungen. Jedes mathematische Objekt, welches eine bestimmte Menge von Eigenschaften (die sogenannten "Vektorraumaxiome") erfüllt, ist per Definition ein Vektor. Weiterführende Informationen hierzu finden Sie unter dem folgenden Link: https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/vektorraum/ Im Rahmen der analytischen Geometrie beschränken wir uns auf die geometrische Interpretation des Vektorbegriffes. Hier wird ein Vektor durch eine Parallelverschiebung definiert: ein Vektor

verschiebt eine Menge von Punkten um eine bestimmte Strecke ("Länge" des Vektors) in eine bestimmte Richtung. Ein Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Dabei repräsentieren Pfeile, die gleich lang, parallel und gleich orientiert sind, ein und denselben Vektor.

Vektoren und Repräsentanten

Welche der dargestellten Pfeile repräsentieren denselben Vektor wie ?

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FACT - Wie werden zwei Vektoren addiert?

Zwei Vektoren

und

werden addiert, indem man den Ursprung des einen Vektorpfeiles an die Spitze des anderen Vektorpfeiles setzt. Addieren Sie die Vektoren durch entsprechendes Verschieben der Pfeile. Sie können die Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten der Endpunkte A bzw. B ändern. Vergessen Sie dann aber nicht, die Koordinaten der Endpunkte der verschobenen Pfeile

und

ebenso anzupassen.

Addition

Kommutativgesetz

Addieren Sie die Vektoren und graphisch, indem einer der Vektoren entsprechend verschoben wird. Gilt hierbei immer das Kommutativgesetz? Überprüfen Sie dies, indem Sie beide Vektoren entsprechend verschieben. Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Bei der Addition zweier Vektoren gilt nicht immer das Kommutativgesetz.
B
Die Reihenfolge, in der zwei Vektoren addiert werden, spielt für den resultierenden Vektor keine Rolle.
C
Es gilt: .
D
Es gibt Ausnahmen, in denen die Reihenfolge der Addition zweier Vektoren eine Rolle spielt.

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FACT - Wie werden zwei Vektoren subtrahiert?

Zwei Vektoren

und

werden subtrahiert, indem man den zu subtrahierenden Vektorpfeil um 180° dreht und anschließend seinen Ursprung an die Spitze des anderen Vektorpfeiles setzt. Der um 180° gedrehte Vektorpfeil wird auch "Gegenvektor" genannt und entsprechend seiner Rolle bei der Subtraktion als

bzw.

bezeichnet. Subtrahieren Sie die Vektoren durch entsprechendes Verschieben der Gegenvektorpfeile. Sie können die Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten der Endpunkte A bzw. B ändern. Vergessen Sie dann aber nicht, die Koordinaten der Endpunkte der verschobenen Pfeile

und

ebenso anzupassen.

Subtraktion

Gegenvektor und Subtraktion

Subtrahieren Sie die Vektoren und graphisch, indem einer der Gegenvektoren entsprechend verschoben wird. Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Bei der Subtraktion zweier Vektoren gilt das Kommutativgesetz nicht.
B
Die Reihenfolge, in der zwei Vektoren subtrahiert werden, spielt für den resultierenden Vektor keine Rolle.
C
Es gilt: .
D
Es gilt:
E
Der Gegenvektor hat die gleiche Länge wie der Originalvektor.

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Vergleichen Sie die Eigenschaften der Addition und Subtraktion von Vektoren mit den entsprechenden Eigenschaften der Addition und Subtraktion reeller Zahlen. Was fällt Ihnen hierbei auf?

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FACT - Wie wird ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert?

Ein Vektor

wird mit einer reellen Zahl r (einem sogenannten Skalar) multipliziert, indem der Vektorpfeil um den Faktor r gestreckt wird. Der resultierende Vektor wird dann mit

bezeichnet. Multiplizieren Sie den Vektor

mit einer reellen Zahl r. Sie können den Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten die Lage der Endpunkte A bzw. B durch ziehen ändern. Beobachten Sie den resultierenden Vektor

S-Multiplikation

Streckung und Stauchung

Multiplizieren Sie den Vektor mit einer reellen Zahl r: . Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Für |r|>1 ist der resultierende Vektor länger als .
B
Für r>0 ist der resultierende Vektor dem Ursprungsvektor entgegengerichtet.
C
Für r<0 ist der resultierende Vektor dem Ursprungsvektor entgegengerichtet.
D
Für |r|<1 ist der resultierende Vektor kürzer als .
E
Der Vektor kann auch einen beliebigen Winkel mit dem Vektor einschließen.

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Experimentieren Sie mit der unten dargestellten Anwendung, welche zwei Vektoren zunächst jeweils mit einer reellen Zahl multipliziert und die Resultate anschließend noch addiert.

Distributivgesetz

Was gilt für den resultierenden Vektor ?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
ist zeigt für r>0 in die gleiche Richtung wie .
B
Es gilt das Distributivgesetz: .
C
Der resultierenden Vektor und können beliebige Winkel einschließen.
D
Der resultierenden Vektor entspricht dem um den Faktor r gestreckten Pfeil von .

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Geometrische Einführung von Vektoren

FACT - Was sind eigentlich Vektoren?

Vektoren und Repräsentanten

FACT - Wie werden zwei Vektoren addiert?

Addition

Kommutativgesetz

FACT - Wie werden zwei Vektoren subtrahiert?

Subtraktion

Gegenvektor und Subtraktion

FACT - Wie wird ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert?

S-Multiplikation

Streckung und Stauchung

Distributivgesetz

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