Límites laterales
En esta página explicamos intuitivamente el concepto de límite lateral de una función, con ejemplos y gráficas, y proporcionamos algunos ejemplos de funciones cuyos límites laterales no coinciden.
1. Concepto de límite
Conviene recordar el concepto de límite:
Decimos que la función f(x) tiende a L cuando x tiende a a (o que el límite de f(x) en a es L ) si la función f(x) toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a.
Lo expresamos mediante
Por ejemplo, el límite de la función x2 cuando x tiende a 2 es 4:
El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a sólo por su derecha o por su izquierda.
Por ejemplo, el límite de la función x2 cuando x tiende a 2 es 4:
El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a sólo por su derecha o por su izquierda.2. Límite lateral
El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función f(x) toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.
Lo denotamos por
Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.
Lo denotamos por
Ejemplo:
Consideremos la función f(x) = 1/x . Queremos calcular sus límites laterales en el punto x=0.
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes:
Por tanto, su límite por la derecha es infinito positivo:
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x) toma valores negativos pequeños:
Por tanto, su límite por la izquierda es infinito negativo:
Gráfica de la función:
Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto cuando sus límites laterales coinciden:
Si no es así, decimos que el límite en a no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, así que
Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.
Lo denotamos por
Ejemplo:
Consideremos la función f(x) = 1/x . Queremos calcular sus límites laterales en el punto x=0.
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes:
Por tanto, su límite por la derecha es infinito positivo:
Cuando x toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x) toma valores negativos pequeños:
Por tanto, su límite por la izquierda es infinito negativo:
Gráfica de la función:
Lógicamente, hablamos del límite de una función en un punto cuando sus límites laterales coinciden:
Si no es así, decimos que el límite en a no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, así que
Ejemplo 1
En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.
Por ejemplo,
Gráfica:
Gráfica:
Ejemplo 2
En las funciones definidas a trozos es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.
Por ejemplo, sea la función
Los límites laterales en 0 son
Gráfica:
Los límites laterales en 0 son
Gráfica: