Aire d'un triangle à partir des côtés

Auteur :
Jean Roussie

Pose du problème

On veut calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés. Pour cela on note :
  • la longueur du plus long côté du triangle
  •  et les longueurs des deux autres côtés.
H est le pied de la hauteur passant par le côté de longueur . Comme c'est le côté le plus long, est situé à l'intérieur du côté. On note la distance de H à une des extrémités du côté de longueur . La distance de H à l'autre extrémité sera donc .

Détermination de l'expression

La hauteur ainsi définie découpe le triangle en deux triangles rectangles dans lesquels nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore : Nous pouvons injecter la valeur exprimée de dans l'expression de : Soit : Et donc : Nous pouvons donc en déduire l'aire du triangle :

Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle de longueurs de côtés , , est :

Discussion de la formule

Regardons cette expression :
  • Elle ne change pas si on permute , et .
  • : Périmètre du triangle.
  • ; et : Inégalités triangulaires, ces facteurs sont forcément positifs si le triangle est possible.

Cas particulier : triangle isocèle

Nous avons , et donc l'aire dubtriangle peut s'écrire :

Cas particulier : triangle équilatéral

Nous avons , et donc l'aire du triangle peut s'écrire :

Cas particulier : triangle rectangle

Si est la longueur de l'hypoténuse nous avons : Et donc : L'aire s'exprime donc, comme attendu :