Pontok, távolságok I. (10.)

1. probléma

Adott két pont, A és B. Az AB egyenes mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB b.) c.) d.) minimális illetve maximális? Legyen A(-1; 0), B(1; 0), P(x; 0)! Ekkor , .

a.)

Ebből következően a távolságösszeg akkor minimális, ha a P az AB szakasz pontja, ekkor a távolságösszeg az AB hosszával egyenlő, és maximum nincs.

b.)



A távolságok négyzetösszege akkor minimális, ha P az AB felezőpontja, a négyzetösszeg ekkor az AB hossza négyzetének a fele. Maximum nincs. (A négyzetes és a számtani közép közötti egyenlőtlenségből is adódik az eredmény.)

c.)

Ebből következően a távolságok szorzatának minimuma 0, a szorzat akkor minimális, ha P = A vagy P = B. A szorzatnak maximuma nincs.

d.)

,

Látható, hogy nincs minimum, és nincs maximum. (Mélyebb függvénytani ismeretekkel ez a vizsgálat pontosítható.)

2. probléma

Adott két pont, A és B. Az AB szakasz mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB b.) c.) d.) minimális illetve maximális?

Megoldás

Az 1. problémában szereplő függvényeket kell leszűkíteni a (0; 1) intervallumra. a.) A vizsgált összeg állandó. b.) A távolságok négyzetösszege akkor minimális, ha P az AB felezőpontja, a négyzetösszeg ekkor az AB hossza négyzetének a fele. A négyzetösszeg akkor maximális, ha P = A vagy P = B, ekkor az AB négyzete. c.) A távolságok szorzatának minimuma 0, a szorzat akkor minimális, ha P = A vagy P = B. A szorzat akkor maximális, ha P az AB felező pontja, és ekkor az AB négyzetének a negyede. (A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel is igazolható a kapott eredmény.) d.) Aszámtani és a harmonikus közép közötti egyenlőtlenséggel is igazolható, hogy minimum akkor van, ha P az AB szakasz felezőpontja. Maximum nincs.

3. probléma

Adott a síkban két pont, A és B. A sík mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB b.) c.) d.) minimális illetve maximális?

Megoldás

a.) A háromszög egyenlőtlenségből következően . Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha . Maximum nincs, hiszen az 1. problémánál már láttuk, hogy az AB egyenesen sem volt maximum. b:) A négyzetes és számtani közép közötti egyenlőséget valamint az a.) probléma eredményét használtuk fel. Ezekből következően egyenlőségek akkor állnak fel, ha P az AB felezőpontja. Maximum nincs, hiszen az 1. problémánál láttuk, hogy az AB egyenesen sem volt maximum. c.)  Egyenlőség (minimum) akkor és csak akkor lehet, ha valamelyik tényező 0, azaz, ha P = A vagy P = B. Maximum nincs, hiszen már az AB egyenesen sem volt. d.)   Láttuk, hogy már az AB egyenesen sem volt minimum sem maximum,így a síkon sincs.

4. probléma

Adott a egy egyenesen három pont, A, B és C , a B az A és C között van. Az egyenes mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB+PC b.) c.) d.) minimális illetve maximális? Válasszunk olyan koordinátarendszert, melyben , a <b<c!


a.)

Nézzük a függvény grafikonját!
A kapott függvény menetének vizsgálatából látható, hogy maximum nincs, minimum van akkor, ha x = b, a minimum ca. Akkor van minimum, ha P a középső pont, és a minimum a két szélső pont távolsága.

b.)

Teljes négyzetté alakítás után: Ebből látszik, hogy a minimumhely (súlypont), a minimum .

c.)

A minimum 0, a minimumhelyek: a, b, c.

c.)

Nincs szélsőérték.

5. probléma

Adott a sík egy egyenesén három pont, A,B és C , a B az A és C között van. Az sík mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB+PC b.) c.) d.) minimális illetve maximális?

a.)

A háromszög egyenlőtlenség szerint: Adjuk össze a három egyenlőtlenséget! Innen: Összevetve az 4. probléma a.) részének eredményével kapjuk, hogy a távolságösszeg akkor minimális, ha P a középső pont. Maximum nincs.

Szemléltetésként

Válasszunk olyan koordinátarendszert, melyben A(a; 0), B(b; 0), C(c; 0, (a < b < c), P(x; y). Ekkor a vizsgált távolságösszeget leíró kétváltozós függvény grafikonja:

b.)

Maximum nincs. Teljes négyzetté alakítva kapjuk, hogy a minimum A, B, C súlypontjában van. A megfelelő kétváltozós függvény grafikonja:

c.)

. Egyenlőség (minimum) akkor van, ha P=A, P=§ vagy P=C. Maximum nincs. Távolságok szorzatát leíró kétváltozós függvény grafikonja:
Sem maximum sem minimum. A kétváltozós függvény grafikonja
Image

6. probléma

Adott három nem kollineáris pont, A,B és C . Az sík mely P pontjára igaz, hogy a.) PA+PB+PC b.) c.) d.) minimális illetve maximális?

a.)

Az - talán - nyilvánvaló, hogy a távolságösszegnek nincs maximuma. A minimumról Izogonális pont címmel itt olvashatunk.

b.)

A távolságok négyzetösszegének nincs maximuma. Folytatás következik.