La verifica formale dei limiti

Argomento:
Limiti
FORMULARE IL CONCETTO A PAROLE... Fino ad ora abbiamo introdotto i limiti dal punto di vista intuitivo, affermando che studiano a quale risultato si avvicina la funzione quando la valutiamo per valori di input sempre più vicini ad un certo valore . In particolare la scrittura può essere tradotta "Quando consideriamo valori di input sempre più vicini ad , il risultato che otteniamo (l'immagine di ) si avvicina sempre di più al valore " Prima di proseguire riformuliamo questa frase spostando il centro della nostra attenzione. La domanda a cui risponde il limite è "a cosa si avvicinano i risultati quando consideriamo input sufficientemente vicini ad ?". Incentriamo quindi la nostra formulazione sull'avvicinamento dei risultati ad L. "Possiamo ottenere valori di output vicini a piacere al valore , ci basta considerare valori di input sempre più vicini ad " In questo capitolo cercheremo di capire come tradurre queste valutazioni qualitative in considerazioni matematiche rigorose. ...PER POI FORMULARLO IN TERMINI MATEMATICI Prima di tutto dobbiamo capire come esprimere matematicamente il concetto di vicinanza e di avvicinarsi, e per fare questo usiamo il concetto di intorno, cioè di un intervallo centrato in un certo valore.
[color=#0000ff]L'intorno blu, che va da [math]\textcolor{blue}{x_A-\delta}[/math] a [math]\textcolor{blue}{x_A+\delta}[/math][/color], definisce tutti i valori che distano da [math]x_A[/math] meno di [math]\delta[/math] : se prendo un punto dentro all'intorno è abbastanza "vicino", altrimenti è troppo "lontano": dista da [math]x_A[/math] più del raggio [math]\delta[/math] (l'ampiezza dell'intorno è detta il suo "raggio"). Più restringo il raggio dell'intorno, più i punti per rientrarvi dovranno essere vicini ad [math]x_A[/math].
L'intorno blu, che va da a , definisce tutti i valori che distano da meno di : se prendo un punto dentro all'intorno è abbastanza "vicino", altrimenti è troppo "lontano": dista da più del raggio (l'ampiezza dell'intorno è detta il suo "raggio"). Più restringo il raggio dell'intorno, più i punti per rientrarvi dovranno essere vicini ad .
Il concetto di intorno è essenziale per passare da una descrizione qualitativa ad una prima grafico visiva: al posto di "è abbastanza vicino a ", ad esempio, diremo "è contenuto in un intorno abbastanza stretto di ". Riformuliamo la definizione di limite usando gli intorni: "Possiamo ottenere valori di output che rientrano in un intorno di stretto a piacere, ci basta considerare valori di input che stiano entro un intorno abbastanza piccolo di ." (da notare che il primo intorno riguarda i risultati, e quindi va preso sull'asse , ed il secondo riguarda i valori di partenza e quindi va preso sull'asse .
[math]\lim_{x\to 5}f(x) = L[/math], infatti se prendiamo un input [math]x[/math] [i]abbastanza[/i] vicino a [math]5[/math], [color=#0000ff]ad esempio nell'intorno blu[/color], la funzione genera un risultato [math]f(x)[/math] [i]abbastanza[/i] vicino a L - [color=#ff0000]nell'esempio ricade nell'intorno rosso[/color]. Il valore verde [math]\textcolor{#007700}{x_1}[/math] ne è un esempio.

[color=#ff0000]Se voglio dei risultati più vicini ad L stringo l'intorno rosso[/color]. Puoi vedere con uno schizzo che se voglio ottenere risultati in un intorno più stretto [color=#0000ff]devo stringere anche il corrispondente intorno blu da cui prendere il valore di input[/color] - cioé [math]x[/math] deve avvicinarsi 5.
, infatti se prendiamo un input abbastanza vicino a , ad esempio nell'intorno blu, la funzione genera un risultato abbastanza vicino a L - nell'esempio ricade nell'intorno rosso. Il valore verde ne è un esempio. Se voglio dei risultati più vicini ad L stringo l'intorno rosso. Puoi vedere con uno schizzo che se voglio ottenere risultati in un intorno più stretto devo stringere anche il corrispondente intorno blu da cui prendere il valore di input - cioé deve avvicinarsi 5.
A questo punto ci basta ricordare che la "larghezza" di un intorno è legata al suo raggio, cioè alla distanza massima tra il valore preso e quello di riferimento, per scrivere: "Dato un raggio arbitrariamente piccolo, possiamo ottenere valori di output che rientrano in un intorno di con quel raggio, a patto di considerare valori di input che stiano entro un intorno di con un raggio corrispondentemente piccolo" Concludendo può essere espresso: In termini più informali: Se vuoi che il risultato disti meno di dal limite , trovi sempre un corrispondente raggio per cui tutte le che distano da meno di soddisfano la tua richiesta." In termini matematici formali: Il raggio sulle è indicato con la lettera greca (epsilon), mentre per quello sulle si usa il simbolo (delta). A questo punto siamo pronti per tradurre il tutto in simboli matematici: Siamo quasi arrivati alla definizione matematica vera e propria. Prima di affrontarla utilizziamo quella più informale per visualizzarne graficamente il significato, nell'animazione qui sotto.

Dopo aver visualizzato visivamente il concetto di vicinanza come appartenenza ad un intorno, cerchiamo di connotarlo matematicamente. Ricordiamo che il concetto di distanza è uno dei primi che abbiamo introdotto in geometria analitica, parlando della distanza tra due punti, e che per farlo abbiamo introdotto l'operatore di valore assoluto; puoi rivedere queste considerazioni in questa pagina; comunque in un primo momento non utilizzeremo i valori assoluti, ed esprimeremo la distanza con una catena di disequazioni.

UN PRIMO ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE FORMALE DI UN LIMITE
Riprendiamo il limite accennato nella pagina dove abbiamo introdotto il valore assoluto: stiamo dicendo che
  • quando le sono abbastanza vicine al 2,
  • deve avvicinarsi a 5
traducendo le due frasi in disequazioni con i moduli abbiamo
  • se le sono comprese tra , dove è una distanza piccola a piacere
  • allora deve distare da 5 meno di un certo valore piccolo a piacere, cioè deve essere compreso tra e , ovvero
(le distanze lungo le x e lungo le y, e , in generale non sono la stessa, l'importante è che entrambe diventino piccole a piacere, cioè che ci stiamo avvicinando). Vediamo che verificare il valore di un limite significa controllare che la disequazione rossa diventa vera ogni volta che è vera quella blu: nel nostro esempio il risultato della funzione si avvicina a 5 ogni volta che la x si avvicina abbastanza a 2. Noi vogliamo che il risultato si avvicini a 5, quindi che la disequazione rossa sia vera: togliamo 1 a tutti i termini, in modo da eliminarlo dall'espressione dove c'é la x a questo punto finiamo di isolare la x dividendo tutti i termini per 2 Abbiamo ottenuto che la disequazione rossa sul risultato della funzione di fatto è equivalente alla disequazione blu sui valori di input, se infatti scegliamo otteniamo Il che vuol dire: possiamo ottenere che il risultato di sia vicino a 5 meno di un piccolo quanto vogliamo, basta che consideriamo delle x vicine a 2 meno di un certo , in particolare meno di , cioè abbastanza vicine a 2. Alcune note:
  1. Il , cioè quanto le x devono avvicinarsi a 2, dipende da , cioè quanto il risultato della funzione deve avvicinarsi al 5 (cioè quanto deve essere piccolo), quindi per essere esatti potremmo scrivere , cioè quanto vale il giusto dipende da , è una sua funzione.
  2. Il come dipenda, cioè QUANTO velocemente il risultato si avvicina a 5 rispetto alle x che si avvicinano a 2, è dato dalla forma della funzione: nel nostro caso l'espressione 2x+1 decide i conti da fare e ci fa trovare che deve essere la metà di ).
  3. come anticipato, per effettuare alcune di queste verifiche più complesse può essere utile usare la notazione del valore assoluto, ad esempio per dire che il risultato deve essere vicino a diremo che dista da meno di un raggio piccolo a piacere, cioè . Puoi ripassare il legame tra il valore assoluto e la distanza tra due quantità a questa pagina.