Trois cercles pour les bissectrices du triangle orthique
- Auteur :
- Debart Patrice
- Thème :
- Cercle
Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AhA), (BhB) et (ChC), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (hAH), (hBH) et (hCH) du triangle orthique hAhBhC.
Cette propriété peut être utilisée pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Les points B, A, hB, hA sont cocycliques
sur le cercle de diamètre [AB].
On a les égalités d'angles inscrits : (hAhB, hAA) = (BhB, BA),
A, C, hA, hC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [BC],
d'où (BhB, BhC) = (ChB, ChC), soit (BhB, BA) = (CA, ChC),
A, C, hA, hC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AC],
d'où (CA, ChC) = (hAA, hAhC).
Par transitivité : (hAhB, hAA) = (BhB, BA) = (CA, ChC) = (hAA, hAhC),
soit (hAhB, hAA) = (hAA, hAhC) et la droite (AhA) est une bissectrice de (hAhB, hAhC).
Parallèle à un côté du triangle orthique
Triangle tangentiel
Médiatrice d'un côté du triangle orthique
Cercle d'Euler circonscrit au triangle orthique
Axe orthique
Triangle orthique
Descartes et les Mathématiques
Géométrie du triangle - Triangle orthique