Le formule di duplicazione e sottrazione
Tutte le formule di questo paragrafo saranno ottenute delle formule goniometriche di somma. Richiamiamole quindi qui sotto in modo da averle come comodo riferimento.
FORMULE DI DUPLICAZIONE
Se all'angolo sommiamo se stesso, otteniamo ovviamente . Possiamo usare questo stratagemma per ottenere, a partire dalle formule di somma, le formule di duplicazione, cioè le formule che ci permettono di calcolare seno e coseno di un angolo DOPPIO di un angolo dato.
Se nella formula di somma del seno al posto di sommiamo un secondo , otteniamo:
sommando i due termini identici si ha la formula di duplicazione del seno:
Facendo la stessa cosa per il coseno abbiamo:
sviluppando i conti arriviamo alla formula di duplicazione del coseno:
Da notare che assomiglia alla legge fondamentale della goniometria, ma i due termini non sono sommati - darebbe 1! - bensì sottratti.
Verifichiamo la correttezza di queste formule con un semplice esempio, ovvero calcolando seno e coseno di 60° considerandolo come il doppio di 30°:
Allo stesso modo si possono ricavare ad esempio le caratteristiche di oppure .
Ovviamente le formule di duplicazione hanno anche altre applicazioni, oltre a quella di verificare gli angoli già noti. Le vedremo più avanti.
LE FORMULE DI SOTTRAZIONE
Sfruttiamo di nuovo le formule di somma per ottenere quelle di sottrazione. Sottrarre due angoli, infatti, equivale a sommare al primo l'opposto del secondo.
Recuperiamo quindi le formule di somma del seno, ed al posto dell'angolo sommiamo l'angolo :
A questo punto dobbiamo ricordarci delle proprietà di seno e coseno, ovvero che il primo è una funzione dispari () mentre il secondo è una funzione pari ().
Possiamo vedere la stessa cosa ricordando che e sono due archi associati.
![[math]\large{\beta}[/math] e [math]\large{-\beta}[/math] hanno lo [color=#0000ff]stesso coseno[/color], quindi [math]\large{\textcolor{blue}{\cos(-\beta)}}[/math] coincide con [math]\large{\cos(\beta)}[/math].
[color=#ff0000]I loro seni sono opposti[/color], quindi [math]\large{\textcolor{red}{\sin(-\beta)}}[/math] = [math]\large{-\sin(\beta)}[/math].](https://beta.geogebra.org/resource/njfrrcjx/huUwQjEU9CkJLEYq/material-njfrrcjx.png)
Sostituendo queste considerazioni nella nostra formula
da cui otteniamo la formula di sottrazione del seno:
Ora facciamo lo stesso con il coseno: riprendiamo le formule di somma ed al posto dell'angolo sommiamo l'angolo :
Di nuovo, applicando le considerazioni su parità di seno e coseno nella nostra formula e svolgendo i calcoli otteniamo la formula di sottrazione del coseno: