Abstände hyperbolisch
Im POINCARÉschen Kreisscheibenmodell der hyperbolischen Ebene sind GERADEN die auf dem absoluten Kreis K0 senkrecht stehenden Kreis-Segmente und PUNKTE die Punkte im Inneren von K0.
Durch je zwei PUNKTE geht genau eine GERADE. Nachzuschlagen zB. bei wikipedia Hyperbolische Geometrie!
Wie definiert man Abstände?
Um einfacher rechnen zu können, betrachten wir das Kreisscheibenmodell in der GAUSSschen Zahlenebene .
Die PUNKTE a, b, c, d sind also komplexe Zahlen, daher haben wir sie mit Kleinbuchstaben notiert.
Die GERADE durch zwei PUNKTE a und b, also der zu K0 orthogonale Kreis durch a und b schneidet K0 in zwei Punkten u, v. Mit diesen wird der hyperbolische Abstand der beiden PUNKTE definiert:
gebra nach komplexen Rechnungen aber als dargestellt, die Verwendung von Re erleichtert dem natürlichen Logarithmus ln seine Arbeit. | ... | : Abstände sind per se nicht-negativ.
Warum diese ziemlich komplex erscheinende Definition?
Das Doppelverhältnis verhält sich "multiplikativ": , mit Hilfe des ln folgt dann, dass für PUNKTE a, b, c auf einer Geraden die Abstände sich addieren, wenn sie in der Reihenfolge a, b, c auf der GERADEN liegen, also salopp: wenn b zwischen a und c liegt: .
Man kann das im Applet ausprobieren, die Rechnungen werden im Hintergrund wie angegeben durchgeführt.
Man sollte vermuten, dass der Abstand zu einem PUNKT, der zum Rand der Ebene strebt, unendlich groß wird, das läßt sich aber mit gegebra schlecht erkennen.
Wir haben dazu versucht, die Abstandsfunktion für den Abstand von PUNKTEN auf der innerhalb K0 verlaufenden -Achse zum Ursprung O darzustellen. Da wir als Mittelpunkt der Kreisscheibe O gewählt haben, ist der fragliche Teil der -Achse eine hyperbolische GERADE! Man erkennt am Verlauf des Funktionsschaubildes, dass der Abstand zu O zum Rand hin wird!
Schließlich sei angedeutet, dass die ECKPUNKTE eines Dreiecks auch in der hyperbolischen Ebene vom Mittelpunkt M des Umkreises denselben Abstand besitzen!
Im POINCARÉschen Kreismodell ist ein ganz im Innern verlaufender Kreis tatsächlich ein hyperbolischer KREIS: d.i. die Menge aller PUNKTE, die von einem PUNKT - dem MITTELPUNKT - denselben hyperbolischen Abstand besitzen! Allerdings ist der MITTELPUNKT nicht der EUKLIDische Kreismittelpunkt. Die Dreieckskonstruktion liefert einen Hinweis darauf, wo der MITTELPUNKT liegen könnte.
- mit dem komplexen Doppelverhältnis für .
gebra nach komplexen Rechnungen aber als dargestellt, die Verwendung von Re erleichtert dem natürlichen Logarithmus ln seine Arbeit. | ... | : Abstände sind per se nicht-negativ.
Warum diese ziemlich komplex erscheinende Definition?
Das Doppelverhältnis verhält sich "multiplikativ": , mit Hilfe des ln folgt dann, dass für PUNKTE a, b, c auf einer Geraden die Abstände sich addieren, wenn sie in der Reihenfolge a, b, c auf der GERADEN liegen, also salopp: wenn b zwischen a und c liegt: .
Man kann das im Applet ausprobieren, die Rechnungen werden im Hintergrund wie angegeben durchgeführt.
Man sollte vermuten, dass der Abstand zu einem PUNKT, der zum Rand der Ebene strebt, unendlich groß wird, das läßt sich aber mit gegebra schlecht erkennen.
Wir haben dazu versucht, die Abstandsfunktion für den Abstand von PUNKTEN auf der innerhalb K0 verlaufenden -Achse zum Ursprung O darzustellen. Da wir als Mittelpunkt der Kreisscheibe O gewählt haben, ist der fragliche Teil der -Achse eine hyperbolische GERADE! Man erkennt am Verlauf des Funktionsschaubildes, dass der Abstand zu O zum Rand hin wird!
Schließlich sei angedeutet, dass die ECKPUNKTE eines Dreiecks auch in der hyperbolischen Ebene vom Mittelpunkt M des Umkreises denselben Abstand besitzen!
Im POINCARÉschen Kreismodell ist ein ganz im Innern verlaufender Kreis tatsächlich ein hyperbolischer KREIS: d.i. die Menge aller PUNKTE, die von einem PUNKT - dem MITTELPUNKT - denselben hyperbolischen Abstand besitzen! Allerdings ist der MITTELPUNKT nicht der EUKLIDische Kreismittelpunkt. Die Dreieckskonstruktion liefert einen Hinweis darauf, wo der MITTELPUNKT liegen könnte.
Diese Seite ist eine Aktivität des geogebra-books kugel-dreiecke (August 2018)
Das Applet unten illustriert die hyperbolische Abstandsfunktion für die Punkte eines Intervalls :
- für Punkte des Intervalls: mit <<.