FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Ya conocimos la función exponencial y ya sabemos que se puede utilizar para calcular crecimientos o decrementos cuando se trata de cantidades absolutas.
Pero, ¿Qué sucede cuando tenemos incrementos o decrementos en cantidades relativas?
Al hablar de cantidades relativas, nos referimos a porcentajes, como lo son las tasas de interés bancarias, o cambio en la cantidad poblacional de individuos, etc.
Para poder usarla, debemos primeramente conocer un número especial que se conoce como Número Neperiano, Número de Euler o Número Exponencial Natural.
Se denomina con la letra e y está determinado por la siguiente función:
Como se puede entender, el número e es un número irracional, es decir que no tiene final ni es repetitivo.
Una aproximación a 4 números después del punto decimal es útil para los cálculos matemáticos:
MODELO ALGEBRAICO
La función exponencial tiene el siguiente modelo algebraico:
Al ser una función exponencial en donde la base es una constante, las características matemáticas y gráficas son las mismas que tiene la función exponencial revisada en el apartado anterior.
Gráfica de la función exponencial natural
USOS Y APLICACIONES
Entonces, para realizar cálculos de crecimientos exponenciales relativos, nuestra fórmula será la siguiente:
siendo
cf la cantidad final.
ci la cantidad inicial.
e el número de Euler.
r el incremento relativo, en porcentaje. IMPORTANTE: Los porcentajes se dividen entre 100 para obtener su
valor decimal.
t el tiempo en el que se desea estimar la cantidad final.
Veamos el primer EJEMPLO:
Una inversión bancaria ofrece una inversión a plazo fijo con el 8.5 % de interés a 12 meses. Si inicialmente se invierten $328,000.00, calcular la cantidad esperada a 7 meses.
SOLUCIÓN:
Los valores de las variables que intervienen son:
Cantidad inicial.
Tasa relativa de cambio.
Los intereses están calculados a 12 meses, por lo que es necesario calcular la relación que tienen 7 meses respecto a 12, es decir:
Tiempo en que se desea calcular la cantidad final.
Por lo que nuestra ecuación será:
pesos, después de 7 meses de inversión.
La gráfica de la función puede verse a continuación. Puedes mover el deslizador para visualizar la cantidad esperada mes a mes.
EJEMPLO 2:
A inicios del siglo XX, los tigres tenían una población de 100,000 descendiendo en 95% en un lapso de 100 años (Farrás, L. en La Vanguardia. 2018. Recuperado de https://www.lavanguardia.com/natural/20180303/441164150897/grandes-felinos-lince-onu-extincion-peligro.html Consultado el 5 de abril 2020). Con ésa información, ¿Qué cantidad de tigres se espera que existan en el año 2050?
RESPUESTA:
DATOS:
OPERACIONES Y RESULTADO:
población de tigres esperados en el año 2050
SOLO PARA PRACTICAR
Una población de cucarachas ingresó a un edificio hace tres años. Se sabe que esa especie de cucarachas se reproduce a un ritmo tal, que su población crece a un ritmo de 10% anual. Si la población actual se estima en 380 individuos, ¿Qué cantidad de cucarachas invadió el edificio hace 3 años?
SUGERENCIA: Despeja la cantidad inicial en la ecuación del crecimiento relativo.
RESPUESTA: