Métodos de solución sistemas ecuaciones lineales 2 x 2
Una de las formas de la expresión que define una recta en el plano es la ecuación general Ax + By + C = 0. Esta expresión recibe el nombre de ecuación lineal con dos variables.
Sistema de ecuaciones lineales 2 x 2
Es un sistema formado por dos ecuaciones lineales con dos variables cada una.
Como una ecuación lineal con dos variables representa una recta en el plano, resolver un sistema de ecuaciones 2 x 2 es encontrar las parejas ordenadas (x,y) que satisfacen a las dos ecuaciones, o lo que es lo mismo, los puntos comunes a las dos rectas.
Se pueden tener 3 casos:
a) El sistema tiene solución única. El sistema tiene solamente una solución, una sola pareja (x,y), que satisface a las dos ecuaciones. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones son secantes y por lo tanto se cortan en un solo punto. Las dos rectas tienen un sólo punto en común.
b) El sistema no tiene solución. No existe una pareja (x,y) que satisfaga a las dos ecuaciones. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones son paralelas y por lo tanto no se cortan. Las dos rectas no tienen puntos en común.
c) El sistema tiene infinitas soluciones. Las dos ecuaciones son equivalentes, por lo tanto, toda pareja (x,y) que satisface a una de las dos ecuaciones, satisface también a la otra. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones coinciden, es decir, son sólo una recta. Cada uno de los puntos de esa recta es una solución del sistema.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2
Normalmente se tienen 5 métodos.
1. Método gráfico
2. Método sustitución
3. Método igualación
4. Método reducción, eliminación o suma y resta
5. Método determinantes
Método gráfico
Se representan en el mismo plano cartesiano las dos ecuaciones y por observación, se determina el punto de intersección. Ese punto (x,y) es la solución del sistema.
Como se sabe, una recta se puede definir con tres expresiones diferentes (ecuación normal, ecuación general, ecuación simétrica) pero para simplificar este resumen, se va a trabajar dando la ecuación en forma general Ax + By + C = 0.
Se presentan dos applets:
En el primero, además del punto solución del sistema se muestra tabla de valores correspondiente a los interceptos con los ejes coordenados.
En el segundo se muestra la solución y la pendiente de las dos rectas. Además permite dar las ecuaciones de dos formas diferentes, ax + by + c = 0 y ax + by = c. Esta forma de la ecuación es la que se utiliza en el método de determinantes.
Nota: Utilice el applet para explorar sistemas 2 x 2 que correspondan a rectas paralelas, a rectas coincidentes, a rectas secantes o a rectas perpendiculares.
Recuerde que la pendiente de la recta con ecuación Ax + By + C = 0 es m = -A/B.
- Si las dos rectas son paralelas. Esto se logra cuando los coeficientes A y B son respectivamente iguales o si son respectivamente múltiplos entre sí.
La ecuaciones 2x + 5y - 3 = 0 y 2x + 5y + 1 = 0 representan rectas paralelas.
También son paralelas las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 4y - 8 = 0 y 9x + 12y + 1 = 0.
- Si los coeficientes A, B y C son respectivamente proporcionales, las dos rectas son coincidentes. Esto se logra cuando los coeficientes de una son múltiplos respectivos de la otra.
Ejemplo. Las ecuaciones 2x + 3y - 5 = 0 y 4x + 6y - 10 = 0 son coincidentes. La razón de proporcionalidad es 2.
- Si las dos rectas son secantes. Ejemplo, 3x + 5y - 3 = 0 y -3x + 5y + 1 = 0
- Si las dos rectas son perpendiculares. Escrito de otra manera,
Un ejemplo, 3x + 2y - 3 = 0 y 2x - 3y + 5 = 0
Método sustitución
Se ilustra el método con un ejemplo.
Procedimiento:
a) Se despeja una de las variables en una cualquiera de las ecuaciones.
De E1 se despeja x. Se obtiene la ecuación E3
b) Se reemplaza E3 en E2. Se obtiene la ecuación E4.
Obsérvese que la ecuación E4 es una ecuación de primer grado con una sola incógnita.
c) Se resuelve la ecuación E4.
d) Se reemplaza el valor obtenido de E4 en E3 y se resuelve.
Solución del sistema: x = 3 y = 2 Ps = (3 , 2)
Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.
Método igualación
Se ilustra el método con un ejemplo.
Procedimiento:
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Se obtienen E3 y E4.
b) Se iguala el miembro de la derecha de E3 con el correspondiente de E4. Se obtiene E5.
La ecuación E5 es de primer grado con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación E5.
d) Se reemplaza el valor obtenido de E5 en una cualquiera de las ecuaciones E1, E2, E3 o E4 y se resuelve.
En la ecuación E1,
Solución del sistema: x = 1 y = -2 Ps = (1 , -2)
Verifique en el applet la solución gráfica de este sistma.
Método reducción, eliminación o suma y resta
Se ilustra el método con un ejemplo.
Procedimiento:
a) Se transforman las ecuaciones E1 y E2 de tal manera que los coeficientes de x sean iguales pero de signo contrario. Se suman las ecuaciones E3 y E4 y se cancela una de las incógnitas, en este caso, x. Se obtiene la ecuación E5 .
b) Se resuelve la ecuación E5.
c) Se reemplaza el valor obtenido de E5 en una cualquiera de las dos ecuaciones originales y se resuelve.
En la ecuación E1,
Solución del sistema: x = -3 y = -1 Ps = (-3 , -1)
Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.
Método determinantes
Se ilustra el método con un ejemplo.
a) Se ordenan las ecuaciones en la forma ax + by = c.
La ecuación E1 tendrá la forma a1x + b1y = c1
La ecuación E2 tendrá la forma a2x + b2y = c2b) Se aplica la regla de Cramer:
Antes de aplicar la regla de Cramer, se refuerzan los conceptos de matriz y determinante de una matriz:
Solución del sistema: x = 1 y = 2 Ps = (-3 , -1)
Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.