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Base deux: du plus grand au plus petit

Auteur :Christian Mercat
Un algorithme d'écriture en base 2 d'un nombre par soustractions successives, donnant les bits de poids forts avant les bits de poids faibles.
Observez les formules mises dans les cellules et le résultat. On teste si une puissance de 2 donnée est plus grande ou pas que le nombre en question. Le résultat du test donne le chiffre en binaire. Et si c'est le cas, on retire cette puissance de 2 et on recommence.
Cette activité permet aux élèves de proposer l'algorithme expliqué dans le tableau précédent: avec les tubes de longueurs 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 et 128 cm, demandez de mesurer la taille d'un des élèves, c'est-à-dire d'empiler des tubes jusqu'à atteindre le trait fait sur le tableau. On voit qu'on réussit toujours à l'approcher à moins de 1 cm de précision. Et en leur demandant de formaliser comment ils arrivent à ce résultat, on arrive à l'algorithme "glouton": on prend le plus grand tuyau qui ne dépasse pas la longueur à mesurer, et on recommence sur la longueur qu'il reste à mesurer. D'un point de vue mathématique, cela nécessite une preuve que tous les nombres peuvent être écrits d'une manière unique comme somme de puissances de 2 toutes différentes. Une preuve par récurrence forte, par exemple, vient à bout de ce problème. Cette activité fait partie de la thèse de Pedro Lealdino Filho sur la pensée mathématique créative.
Cette activité permet aux élèves de proposer l'algorithme expliqué dans le tableau précédent: avec les tubes de longueurs 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 et 128 cm, demandez de mesurer la taille d'un des élèves, c'est-à-dire d'empiler des tubes jusqu'à atteindre le trait fait sur le tableau. On voit qu'on réussit toujours à l'approcher à moins de 1 cm de précision. Et en leur demandant de formaliser comment ils arrivent à ce résultat, on arrive à l'algorithme "glouton": on prend le plus grand tuyau qui ne dépasse pas la longueur à mesurer, et on recommence sur la longueur qu'il reste à mesurer. D'un point de vue mathématique, cela nécessite une preuve que tous les nombres peuvent être écrits d'une manière unique comme somme de puissances de 2 toutes différentes. Une preuve par récurrence forte, par exemple, vient à bout de ce problème. Cette activité fait partie de la thèse de Pedro Lealdino Filho sur la pensée mathématique créative.

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