Axe orthique
- Auteur :
- Debart Patrice
Alignement des intersections des côtés d'un triangle avec les côtés de son triangle orthique.
Les pieds des hauteurs d'un triangle ABC (non rectangle) d'orthocentre H, forment le triangle orthique .
Les points d'intersection , des côtés d'un triangle ABC avec les côtés de son triangle orthique, sont alignés, car ils appartiennent à l'axe radical des cercles circonscrits aux deux triangles ABC et .
Démonstration : puissance d'un point par rapport à un cercle
Les points et sont situés sur le cercle de diamètre [BC].
La puissance de , intersection de (BC) avec (), par rapport à ce cercle est :
.
est la puissance par rapport au cercle (c) circonscrit à ABC.
est la puissance par rapport au cercle d'Euler () circonscrit à .
Le point a même puissance par rapport à (c) et (), est situé sur leur axe radical.
On montre de même que les deux autres points d'intersection ont même puissance par rapport à (c) et ().
Les trois points sont situés sur une même droite, axe radical de (c) et () ; cet axe est appelé axe orthique du triangle ABC.
Triangle orthique
Parallèle à un côté du triangle orthique
Triangle tangentiel
Médiatrice d'un côté du triangle orthique
Cercle d'Euler circonscrit au triangle orthique
Descartes et les Mathématiques
Géométrie du triangle - Triangle orthique