Grados de libertad, rigidez local y rigidez global
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Mecanismos.
En la siguiente construcción podemos elegir distintos elementos.
1 punto
La posición de un punto libre del plano viene determinada por 2 coordenadas, ya que el plano tiene dos dimensiones. Decimos que el punto tiene 2 grados de libertad, pues cada coordenada es libre de tomar cualquier valor.
Ahora bien, en ausencia de un sistema de referencia visible (como sucede en la construcción), al no conocer esas coordenadas, el punto O se nos muestra igual a cualquier otro punto del plano. No hay nada, salvo su posición (que suponemos ignorada), que diferencie a O de cualquier otro punto.
2 puntos y 1 barra
Si colocamos 2 puntos, entre ambos tendrán 4 grados de libertad (sus 4 coordenadas). Sin embargo, si imponemos la restricción de que la distancia entre ambos sea fija, el número total de grados de libertad se reduce a 3. Esto se ve mejor si visualizamos esta restricción mediante un segmento (o barra indeformable) con la longitud fijada por esa distancia. La posición de esa barra en el plano queda determinada por la posición de O y el ángulo que forma con la horizontal: en total 3 parámetros o grados de libertad.
De hecho, debido al proceso de construcción, mientras que O es un punto libre que puede moverse por todo el plano (dimensión 2), el punto U, una vez fijada una posición para O, ha de mantenerse en una circunferencia (dimensión 1) de centro O y radio fijo (la distancia dada).
Se puede demostrar que todas las configuraciones (no puntuales) de puntos y barras tienen, en el plano, como mínimo 3 grados de libertad. Por ello, podemos considerar solo los grados de libertad "que se añaden" a estos tres. Se denominan "grados de libertad internos". La configuración de dos puntos y una barra tiene entonces 0 grados de libertad internos.
Observemos que si la barra fuese material (por ejemplo, de acero) no dudaríamos en calificarla de rígida, en el sentido de que solo puede adoptar una forma, no se puede deformar de modo continuo hasta alcanzar otra forma diferente. En los siguientes ejemplos, comprobaremos que esta rigidez local es consecuencia de que el número de grados de libertad internos sea 0.
Además, en este caso, todas las barras de la misma longitud son congruentes, esto es, son idénticas salvo isometría. Es decir, tienen la misma medida sin importar su posición u orientación. En tal caso, decimos que la figura, además de localmente rígida, es también globalmente rígida.
Para visualizar mejor los grados de libertad internos, en lo sucesivo supondremos fijos los puntos O y U, así como la distancia entre ellos. De este modo, al considerar la configuración {O, U, OU} con 0 grados de libertad en vez de 3, el número de grados de libertad coincidirá con el número de grados de libertad internos.
3 puntos y 2 barras
En este caso, vemos claramente que, al mover E, la configuración de puntos y barras puede adquirir diferentes formas. Es una configuración flexible, podemos encontrar diversas posiciones no congruentes. Ahora existe 1 grado de libertad interno (la dimensión de la circunferencia que recorre E) que dota a la configuración de esa flexibilidad.
3 puntos y 3 barras
Sabemos que todos los triángulos con las mismas medidas son congruentes. Así que, siempre que sea posible obtener un triángulo (una barra no puede medir más que la suma de las otras dos), este será rígido. Observemos que aunque hay 2 posiciones (llamadas isómeras) posibles para E, los dos triángulos correspondientes (OUE y OUE') son, en este caso, congruentes. Efectivamente, por construcción, el punto E carece de libertad, así que el número total de grados de libertad internos es 0. Esta configuración es, entonces, local y globalmente rígida.
4 puntos & 3 barras (a)
Este caso es similar al de 3 puntos y 2 barras. Al añadir un punto F y una barra más a la configuración OUE, estamos añadiendo 1 grado más de libertad. Por lo tanto, esta configuración es flexible, con 2 grados de libertad internos. Las dimensiones de las circunferencias centradas en O y E muestran, respectivamente, el grado de libertad de los puntos E y F.
4 puntos & 3 barras (b)
Aunque esta configuración es diferente a la anterior, podemos observar que tiene igualmente 2 grados de libertad internos.
4 puntos & 4 barras (a)
A pesar de que esta configuración es cerrada, como la triangular, comprobamos rápidamente que no es rígida. Basta mover E para obtener diferentes formas no congruentes. Efectivamente, el punto F carece de libertad, así que el número total de grados de libertad internos es 1 (la dimensión de la circunferencia recorrida por E).
Ahora bien, ¿qué sucede si fijamos, además de O y U, la posición de E? Obtenemos dos posibles formas que, en general (véase la siguiente actividad para el análisis de un caso particular), no son congruentes: UOEF y UOEF', cada una con 0 grados de libertad internos. Sin embargo, en el plano no podemos pasar de una a la otra de modo continuo. Haría falta "forzar" un salto para convertir F en F'. Por ello decimos que, con O, U y E fijos, la configuración UOEF es localmente rígida aunque no lo sea globalmente.
4 puntos & 4 barras (b)
Aunque esta configuración es diferente a la anterior, podemos observar que tiene igualmente 1 grado de libertad interno. Además, si fijamos F, de nuevo la configuración FUOE es localmente rígida, aunque no lo sea globalmente (pues FUOE y FUOE' no son, en general, figuras congruentes).
Autor de la construcción GeoGebra: Rafael Losada