Desigualdad de Erdös-Mordell
Sea P un puntp del interior del triángulo △ABC, y sean PU, PV y PW segmentos perpendiculares a los lados. Entonces se tiene que
PA + PB + PC ≥ 2(PU + PV + PW)
La igualdad solo se da si el triángulo es equilátero y P es el circuncentro. En este caso los segmentos del primer miembro de la desigualdad son iguales al radio de la circunferencia circunscrita, y los del lado derecho al radio de la inscrita.
Pulsando los botones correspondientes, el triángulo se transforma en equilátero y el punto P se sitúa en el circuncentro O. En cualquier momento puede desplazarse libremente el vértice A y el punto P, éste último limitado al interior del triángulo.
La demostración es sencilla, consiste en adosar al △ABC escalado un factor l, dos triángulos semejantes a △APV y △APW, escalados por un factor c y b respectivamente. Se forma así un trapecio rectángulo, cuya arista perpendicular a las bases mide cv + bw, y la no perpendicular al. Por tanto, es al ≥ cv + bw. Repitiendo el proceso con los vértices B y C y sumado las tres desigualdades, se obtiene la desigualdad deseada.
Se usa que x + 1/x ≥ 2 ∀x > 0, desigualdad que se demuestra fácilmente:
x + 1/x ≥ 2 ⇔ x² + 1 ≥ 2x ⇔ x² - 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x- 1)² ≥ 0 □
La igualdad solo se da si x = 1. Esto implica que a/b = b/a = a/c=c/a = b/c = c/a = 1, y el triángulo debe ser equilátero.
Por otra parte, para que se de la igualdad, el trapecio obtenido en la segunda figura debe ser un rectángulo. Es decir, que los ángulos α_1 + β y α_2 + γ sean rectos. De esto se deduce que ∠VPA = β y ∠APW = γ.
Considerando los otros dos trapecios formados sobre los otros lados , concluimos que
∠VPA = ∠CPV = β, ∠APW = ∠WPB = γ, ∠BPU = ∠UPC = α
Lo que implica que P es el circuncentro del △ABC.
Es decir, la igualdad solo se da si P es el circuncentro de un triángulo equilátero.
Por otra parte, si se se aplica la desigualdad de las medias aritmética y geométrica al segundo miembro de las tres desigualdades intermedias, se tiene que:
al ≥ 2√(cvbw), bm ≥ 2√(awcu), cn ≥ 2√(buav)
Multiplicando las tres miembro a miembro y simplificando abc,
lmn ≥ 8uvw
Tomado de A Visual Proof of the Erdös-Mordell Inequality (Claudi Alsina and Roger B. Nelsen, Forum Geometricorum Vol. 7 (2007) pp. 99-102).