Findung einer besonderen Basis
Aufgabenstellung
Das Programm Geogebra kann zum Graphen der Funktion f mit den Graphen der Ableitung f' darstellen.
- Die Funktion f ist eine Exponentialfunktion. Das ist grafisch daran feststellbar, dass der Graph für der x-Achse annähert. Begründen Sie, dass auch f' eine Exponentialfunktion sein muss.
- Variieren Sie die Basis "b" und beobachten Sie den Verlauf der Graphen. Untersuchen Sie, ob es eine Basis "b" gibt, für die die Funktion f und die Ableitung f' gleich sind. Bestimmen Sie ggf. diesen Wert.
- Jede Exponentialfunktion ist umschreibbar, sodass sie eine andere Basis annimmt. Das liegt am Logarithmus, der Umkehroperation zum Potenzieren. Es gilt im Allgemeinen: . Daher kann man jede Funktion f, z. B. mit so umschreiben, dass man z. B. schreiben kann (Potenzregel ). Es lassen sich also auch alle Exponentialfunktionen so umschreiben, dass sie die Basis aus 2. besitzen. Stellen Sie Vermutungen über den Nutzen dieser besonderen Basis unter Berücksichtigung der möglichen Umschreibung an.