Bimédianes perpendiculaires d'un tétraèdre
Dans un tétraèdre, on appelle bimédianes les droites passant par les milieux de deux arêtes opposées.
Deux bimédianes sont orthogonales si et seulement si les deux arêtes, ne contenant pas les extrémités de ces bimédianes, sont de même longueur.
Produit scalaire dans un tétraèdre
Soit ABCD un tétraèdre et I, J, B' et C' les milieux de [AB], [AC], [CD] et [BD].
1. Exprimer et en fonction de et.
Remarque : décomposer en une somme de deux vecteurs et utiliser le théorème des milieux.
De même avec .
2. Calculer le produit scalaire .
3. Montrer que les droites (B'I) et (C'J) sont orthogonales si et seulement si : AD = BC.
Section plane du tétraèdre
Cliquer sur la case à cocher.
Montrer que le plan (IJB') est parallèle aux arêtes [AD] et [BC].
La section plane IJB'C' est un carré dont la longueur des côtés est égale à la moitié de AD ou BC.
GeoGebta : bimédianes
Descartes et les Mathématiques : Produit scalaire dans l'espace