Homografie - projektivní zobrazení roviny
- Autor:
- Šárka Voráčová
Kolineární zobrazení roviny je dáno čtyřmi páry odpovídajících si prvků - obrazem jednotkového čtverce OCDE. Posuvníkem v můžete měnit souřadnici y (výšku) obrazu strany DE.
Experimentálně zjistěte samodružné body středové kolineace. Posunujte bodem X tak dlouho, dokud nesplnyne s obrazem. Vhodnou manipulací čtverce nad základnou KL se pokuste zjistit samodružné směry.
Matici zobrazení P určíme dosazením čtyř párů odpovídajících si bodů X, X' do rovnice . Reprezentant bodu je určen až na nenulový násobek , pro každý pár je tedy neznámá jedna konstanta vzájemného poměru reprezentantů
Označme . Dosazením čtyř párů odpovídajích si prvků získáme 12 lineárních homogenních rovnic pro neznámé prvky matice P (9) a neznámé násobky reprezentantů ci (4). V praktických příkladech pro automatickou detekci vzájemně odpovídajících si fotografií máme k dispozici mnohem větší počet odhadnutých párů odpovídajících si bodů a řešíme přeurčenou soustavou, např. DLT algoritmem. Podrobně je sestavení rovnic popsáno např. v prezentaci (html)
Pro určení maticové reprezentace P projektivity rovin je mnohdy užitečné vhodně zvolit soustavu souřadnou a vyjádřit obraz jednotkového čtverce. Můžeme využít vztahu mezi sloupci matice P a obrazy vrcholů O, E1, E2 a E3.
Označme sloupce matice P po řadě P1, P2 a P3.
Dosazením O= (0, 0, 1), E1 = (1, 0, 1), E2 = (0, 1, 1) do rovnice zjistíme, že třetí sloupec matice P je až na násobek roven obrazu počátku. Druhý sloupec je rozdílem E2' - O' , podobně první sloupec je až na násobek rozdílem E1' - O'.
P3 = c0.O' P2 = c2.E'2 - c0.O' P1 = c1.E'1 - c0.O'
Nesmíme zapomenout, že reprezentanti projektivních bodů jsou určeni až na nenulové násobky c0.O', c1.E'1, c2.E'2 a c3.E'3, koeficienty ci je třeba též určit. Celkem máme opět 12 lineárních homogenních rovnic pro 13 neznámých. Díky výhodné volbě je tato soustava řešitelná rychle i bez pomocí software.Video asistent rozhodčího
Mezi snímkem a skutečným obrazem fotbalového hřiště existuje perspektivní zobrazení určené 4 páry odpovídajících si bodů. Vzájemná jednoznačnost umožňuje zjistit přesnou polohu objektu ze snímku.
JSXGraph: Perspektiva obdélníkového hřiště
