Oskulační kružnice elipsy
- Autor:
- Šárka Voráčová
Elipsa je dána středem O = (0,0) a velikostmi hlavní a vedlejší poloosy. Implicitní rovnici zapíšeme přímo do příkazového řádku "Vstup", pro parametrické zadání použijeme příkaz "Krivka". Pokud oba předpisy mají týž geometrický obraz, jsou v nákresně zobrazeny překrývající se křivky.
Oskulační kružnice křivky c v bodě K sestrojíme příkazem "OskulacniKruznice[K,c]".
Eukleidovská konstrukce hyperoskulačních kružnic pro vrcholy elipsy je rychlá a všeobecně dobře známa. Méně známá je eukleidovská konstrukce pro oskulační kružnice v obecném bodě. Je založena na větě (Piska, Medek: Deskriptivní geometrie 1, str. 162, 1972):
Všechny kuželosečky dotýkající se v pevném bodě, které lze nevlastní elací ve směru společné tečny navzájem v sebe transformovat, mají touž oskulační kružnici.
Na elipse c zvolme obecný bod K. Tečna elipsy v bodě K je osou afinity a určuje i její směr. Sestrojíme průměr KO, jemu sdružený průměr LO a tečny v krajních bodech. Průsečík normály nK s průměrem LO je obrazem středu O v příslušné elaci. Vrchol tečnového rovnoběžníka promítneme ve směru normály na sdružený poloměr LO a tím je určen zbývající vrchol pomocné kuželosečky (druhý vrchol je v bodě K). Sestrojíme hyperoskulační kružnici pomocné kuželosečky pro vrchol K a ta je současně oskulační kružnicí původní elipsy.
Právě popsanou konstrukci je možno zjednodušit pomocí průsečíku I, II s hlavní osou a průměrem KO.