Cálculo diferencial: de Fermat a Snell
PROBLEMA
Vuestro profesor de Física tiene un problema. La puerta de su casa está en el punto A(0,6) y su coche en el punto B(0,5). Resulta que ha caído una nevada y el viento ha dispuesto la nieve en . Ante esta situación le surgen un montón de preguntas que quiere aprovechar para llevar a clase.
Datos: la velocidad de vuestro profe en la nieve es de 0,71 m/s mientras que sobre la hierba es de 1 m/s.
Puedes manipular los 3 deslizadores y el punto X que está en la frontera entre la nieve y la hierba.
Manipulando el geogebra de arriba
¿Cuánto tiempo le costaría si X=0? ¿Y si X=5? ¿Cuál es el valor de X que minimiza el tiempo? ¿Y cuánto vale ese tiempo?
RETO: Hallar la expresión T(x) para el tiempo de la trayectoria en función de x. A continuación represéntala en la calculadora gráfica.
Pista: usa el teorema de Pitágoras, la ecuación s=v·t.
Observa la función T(x),
¿tiene la misma forma que el rastro de puntos del primer geogebra? ¿Dónde está el mínimo? Escribe T' y dale a igual. ¿Cómo es la derivada? ¿En qué punto vale 0?
ENLAZANDO LO ANTERIOR CON LA LEY DE SNELL
Fíjate en los ángulos que forman las trayectorias con la "normal". En función de cómo se ponga el punto X estos ángulos modifican su valor.
¿Qué sucede con el cociente de los senos de los ángulos cuando X toma el valor que minimiza el tiempo de trayectoria?
REFERENCIAS
Idea sacada del capítulo "Cambio en el que podemos confiar" del libro "El placer de la X", de Steven Strogatz.