Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
En el siguiente applet aparecen cuatro planos: los planos 1.1 y 1.2 determinan, si existe, la recta 1; los planos 2.1 y 2.2 determinan, si existe, la recta 2. En las actividades que se presentan tras el applet se pide, de forma guiada, que explores las condiciones que deben cumplir las ecuaciones de los planos para que existan las rectas 1 y 2, que implicaciones tienen en los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada, y según las diferentes opciones de dichos rangos, que posición relativa tienen las dos rectas 1 y 2.
Descripción de los elementos del applet
El objetivo de este applet es visualizar y conjeturar las relaciones que existen entre las ecuaciones de los planos que determinan dos rectas en el espacio y las posiciones relativas de dichas rectas. La recta 1, en las condiciones adecuadas, está determinada por los planos 1.1 y 1.2. La recta 2, en las condiciones adecuadas, está determinadas por los planos 2.1 y 2.2. Todos los planos, cuyas ecuaciones están dadas por su ecuación general , pueden ser modificados mediante los deslizadores que determinan sus coeficientes. Las matrices de coeficientes y ampliada muestra, de arriba a abajo, los coeficientes de las ecuaciones de los planos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.2 respectivamente. Por último, si existe la intersección de las rectas 1 y 2 se mostrará en el texto las coordenadas de dicho punto, en caso contrario, aparece un signo de interrogación.Explorar las condiciones para que una recta esté determinada por dos planos
1. Desmarca la casilla recta 2 y trabaja únicamente con la recta 1. 2. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente dependientes. ¿Cómo son los planos 1.1. y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 3. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 4. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz de coefiencientes sean linealmente dependientes pero las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente independientes. ¿Cómo son los planos 1.1 y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 5. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 6. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál es el rango mínimo que puede tener la matriz de coeficientes y la matriz ampliada si existen las rectas 1 y 2? Justifica tu respuesta y explora que ocurriría con un rango inferior.