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Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

En el siguiente applet aparecen cuatro planos: los planos 1.1 y 1.2 determinan, si existe, la recta 1; los planos 2.1 y 2.2 determinan, si existe, la recta 2. En las actividades que se presentan tras el applet se pide, de forma guiada, que explores las condiciones que deben cumplir las ecuaciones de los planos para que existan las rectas 1 y 2, que implicaciones tienen en los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada, y según las diferentes opciones de dichos rangos, que posición relativa tienen las dos rectas 1 y 2.

Descripción de los elementos del applet



El objetivo de este applet es visualizar y conjeturar las relaciones que existen entre las ecuaciones de los planos que determinan dos rectas en el espacio y las posiciones relativas de dichas rectas. La recta 1, en las condiciones adecuadas, está determinada por los planos 1.1 y 1.2. La recta 2, en las condiciones adecuadas, está determinadas por los planos 2.1 y 2.2. Todos los planos, cuyas ecuaciones están dadas por su ecuación general , pueden ser modificados mediante los deslizadores que determinan sus coeficientes. Las matrices de coeficientes y ampliada muestra, de arriba a abajo, los coeficientes de las ecuaciones de los planos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.2 respectivamente. Por último, si existe la intersección de las rectas 1 y 2 se mostrará en el texto las coordenadas de dicho punto, en caso contrario, aparece un signo de interrogación.

Explorar las condiciones para que una recta esté determinada por dos planos

1. Desmarca la casilla recta 2 y trabaja únicamente con la recta 1. 2. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente dependientes. ¿Cómo son los planos 1.1. y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 3. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 4. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz de coefiencientes sean linealmente dependientes pero las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente independientes. ¿Cómo son los planos 1.1 y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 5. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 6. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál es el rango mínimo que puede tener la matriz de coeficientes y la matriz ampliada si existen las rectas 1 y 2? Justifica tu respuesta y explora que ocurriría con un rango inferior.

Explorar las condiciones para que una recta esté determinada por dos planos

1. Desmarca la casilla recta 2 y trabaja únicamente con la recta 1. 2. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente dependientes. ¿Cómo son los planos 1.1. y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 3. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 4. Manipula los coeficientes de los planos 1.1 y 1.2 de forma que las filas 1 y 2 de la matriz de coefiencientes sean linealmente dependientes pero las filas 1 y 2 de la matriz ampliada sean linealmente independientes. ¿Cómo son los planos 1.1 y 1.2? Manipula la vista 3D para observar la posición relativa de los planos. 5. ¿Existe la recta 1 en el caso anterior? Justifica tu respuesta. 6. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál es el rango mínimo que puede tener la matriz de coeficientes y la matriz ampliada si existen las rectas 1 y 2? Justifica tu respuesta y explora que ocurriría con un rango inferior.

Explorar las posiciones relativas de dos rectas determinadas por dos planos secantes

7. Marca ambas casillas, recta 1 y recta 2, para visualizar en la vista 3D ambas rectas y los planos que las determinan. 8. Teniendo en cuenta lo realizado en las actividades 1 a 6, considera siempre planos que permitan a las rectas 1 y 2 existir. 9. Manipula los deslizadores de los coeficientes de los planos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.2 de forma que el rango de la matriz de coeficientes sea 2, pero cumpliendo lo expresado en el apartado 8. ¿Cómo puede ser el rango de la matriz ampliada? Indica qué ocurre en cada caso con las rectas creadas y si existe o no un punto de intersección entre ellas. 10. Manipula los deslizadores de los coeficientes de los planos 1.1, 1.2, 2.1 y 2.2 de forma que el rango de la matriz de coeficientes sea 3, pero cumpliendo lo expresado en el apartado 8. ¿Cómo puede ser el rango de la matriz ampliada? Indica qué ocurre en cada caso con las rectas creadas y si existe o no un punto de intersección entre ellas. 11. A partir de lo anterior, establece unos criterios para decidir cuál es la posición relativa de dos rectas determinadas por dos planos secantes a partir del estudio de los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.