Identidades

作者:Pré-Cálculo UFBA

Uma identidade é uma equação que é satisfeita para todos os valores de suas variáveis. Um exemplo simples é a identidade

conhecida como o quadrado da soma, que vale para todos os valores de

. Por exemplo, se

, temos do lado esquerdo da equação (também conhecido como primeiro membro da equação) o valor

enquanto do lado direito (o segundo membro da equação) temos o valor

Que essa equação vale para qualquer valor das variáveis é algo que deve ser demonstrado, como podemos ver abaixo:

Quadrado da Soma

Quando provamos uma identidade, podemos usá-la sempre que necessário para substituir uma expressão que tenha a mesma forma do primeiro membro por outra que tenha a mesma forma do segundo, ou vice-versa, o que pode nos ajudar a resolver determinado problema. Por exemplo, se

, quanto vale

? Ora, pela identidade do quadrado da soma,

donde

ou seja,

. Note que para resolver o problema, não precisamos nem descobrir os valores de

. Só precisamos nos lembrar que há uma identidade que envolve

. Portanto, quanto maior for nosso conhecimento das identidades, maior a nossa chance de aplicá-las em problemas. Antes de vermos mais algumas identidades, vejamos alguns exemplos de não-identidades que, infelizmente, alguns insistem ainda em utilizar. Antiexemplos:

Nenhuma dessas equações é uma identidade, pois é possível encontrar valores para

que não resultam em valores iguais nos dois membros. Por exemplo,

. Voltando às identidades de verdade, utilizando o quadrado da soma, podemos demonstrar uma identidade para o cubo da soma:

Cubo da Soma

Essa identidade possui uma interessante interpretação geométrica. Manipule a figura abaixo para entender o que acontece.

Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal

Qual é a expansão de

quando

? Existe um padrão simples para os coeficientes que aparecem na expansão de

, conhecido como Triângulo de Pascal. Manipule a figura abaixo para descobrir o padrão.

Em geral, pode-se provar que

onde

é chamado número binomial. Esse resultado é conhecido como binômio de Newton. Lembrando que

conta o número de subconjuntos com

elementos no conjunto

, podemos entender este resultado. Considere o coeficiente de

Ele é igual a

porque existem três parcelas envolvendo

com exatamente 1

e 2

's, quais sejam,

correspondendo aos três subconjuntos de

com dois elementos,

onde cada subconjunto especifica as posições dos

's nos termos correspondentes.

Problema: Se e , quanto vale ?

检查答案

Problema: Se e , quanto vale ?

检查答案

Diferença de Quadrados

Outra identidade importante é a diferença de quadrados:
ou a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença. Acompanhe a demonstração abaixo.

Diferença de Cubos e Diferença de Potências

De maneira semelhante, podemos obter a diferença de cubos e a diferença de potências:

Observando o que acontece no exemplo acima, podemos entender o que acontece em geral para

. Quando multiplicamos

por uma expressão da forma

(note que as potências do

decrescem e as potências do

crescem), as parcelas que contém

se cancelam, sobrando apenas

Assim, para

temos que

Identidades Obtidas por Substituição

A partir das identidades básicas acima, podemos obter muitas outras através de substituição de variáveis. Por exemplo, fazendo

e substituindo essas variáveis na identidade da diferença de quadrados temos que

donde concluímos que

que é outra identidade envolvendo a diferença de quartas potências. Por outro lado, se fizermos

e substituirmos na mesma identidade da diferença de quadrados, obtemos que

donde concluímos que

Entretanto, perceba que a equação não é mais válida para quaisquer valores de

, mas apenas quando

, pois só podemos extrair a raiz quadrada de números não-negativos. Portanto, a equação acima é uma identidade apenas se considerarmos que as variáveis

são maiores ou iguais a zero. Muitas vezes essas condições adicionais sobre as variáveis são assumidas implicitamente.