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Identidades

Uma identidade é uma equação que é satisfeita para todos os valores de suas variáveis. Um exemplo simples é a identidade

conhecida como o quadrado da soma, que vale para todos os valores de e . Por exemplo, se e , temos do lado esquerdo da equação (também conhecido como primeiro membro da equação) o valor

enquanto do lado direito (o segundo membro da equação) temos o valor

Que essa equação vale para qualquer valor das variáveis é algo que deve ser demonstrado, como podemos ver abaixo:

Quadrado da Soma

Quando provamos uma identidade, podemos usá-la sempre que necessário para substituir uma expressão que tenha a mesma forma do primeiro membro por outra que tenha a mesma forma do segundo, ou vice-versa, o que pode nos ajudar a resolver determinado problema. Por exemplo, se e , quanto vale ? Ora, pela identidade do quadrado da soma,

donde

ou seja, . Note que para resolver o problema, não precisamos nem descobrir os valores de e . Só precisamos nos lembrar que há uma identidade que envolve , e . Portanto, quanto maior for nosso conhecimento das identidades, maior a nossa chance de aplicá-las em problemas. Antes de vermos mais algumas identidades, vejamos alguns exemplos de não-identidades que, infelizmente, alguns insistem ainda em utilizar. Antiexemplos:
Nenhuma dessas equações é uma identidade, pois é possível encontrar valores para e que não resultam em valores iguais nos dois membros. Por exemplo, , e . Voltando às identidades de verdade, utilizando o quadrado da soma, podemos demonstrar uma identidade para o cubo da soma:

Cubo da Soma

Essa identidade possui uma interessante interpretação geométrica. Manipule a figura abaixo para entender o que acontece.

Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal

Qual é a expansão de quando ? Existe um padrão simples para os coeficientes que aparecem na expansão de , conhecido como Triângulo de Pascal. Manipule a figura abaixo para descobrir o padrão.
Em geral, pode-se provar que

,

onde

é chamado número binomial. Esse resultado é conhecido como binômio de Newton. Lembrando que conta o número de subconjuntos com elementos no conjunto , podemos entender este resultado. Considere o coeficiente de em

Ele é igual a porque existem três parcelas envolvendo e com exatamente 1 e 2 's, quais sejam,

correspondendo aos três subconjuntos de com dois elementos,

onde cada subconjunto especifica as posições dos 's nos termos correspondentes.

Problema: Se e , quanto vale ?

Problema: Se e , quanto vale ?

Diferença de Quadrados

Outra identidade importante é a diferença de quadrados:

ou a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença. Acompanhe a demonstração abaixo.

Diferença de Cubos e Diferença de Potências

De maneira semelhante, podemos obter a diferença de cubos e a diferença de potências:
Observando o que acontece no exemplo acima, podemos entender o que acontece em geral para . Quando multiplicamos por uma expressão da forma

(note que as potências do decrescem e as potências do crescem), as parcelas que contém e se cancelam, sobrando apenas

Assim, para temos que

Identidades Obtidas por Substituição

A partir das identidades básicas acima, podemos obter muitas outras através de substituição de variáveis. Por exemplo, fazendo  e e substituindo essas variáveis na identidade da diferença de quadrados temos que

donde concluímos que

que é outra identidade envolvendo a diferença de quartas potências. Por outro lado, se fizermos e e substituirmos na mesma identidade da diferença de quadrados, obtemos que

donde concluímos que

.

Entretanto, perceba que a equação não é mais válida para quaisquer valores de e , mas apenas quando e , pois só podemos extrair a raiz quadrada de números não-negativos. Portanto, a equação acima é uma identidade apenas se considerarmos que as variáveis e são maiores ou iguais a zero. Muitas vezes essas condições adicionais sobre as variáveis são assumidas implicitamente.

Exercícios

Mostre as seguintes identidades: