Potenzfunktion (Parabel, Hyperbel und Wurzelfunktion)
Potenzfunktion, Parabel n-ten Grades
Parabeln gibt es nicht nur mit dem Exponenten 2, sondern in allen möglichen Variationen. Bei allen gibt es aber Gemeinsamkeiten, die hier beschrieben werden. Die Funktionsgleichung einer Parabel n-ten Grades lautet:
Die Definitionsmenge gilt für die reellen Zahlen: Die Wertemenge umfasst:
Den Graphen nennt man: Parabel n-ten Grades Nullstellen:
Symmetrie:
Die Symmetrie-Eigenschaften sind ein wichtiger Aspekt in der Kurvendiskussion (Sekundarstufe II)
| wenn n gerade ist | |
| wenn n ungerade ist |
| achsensymmetrisch | zur y-Achse, wenn n gerade ist |
| punktsymmetrisch | zum Ursprung, wenn n ungerade ist |
Hyperbel
Bei den Potenzfunktionen ging es um positive Exponenten, in diesem Abschnitt schauen wir uns die negativen Exponenten an. Dabei handelt es sich um die so genannten Hyperbeln (so bezeichnet man die Graphen der Funktion).
Die Funktionsgleichung lautet:
Bedenke:
Die Definitionsmenge ist:
Wertemenge: , wenn n gerade ist und , wenn n ungerade ist.
Nullstellen: keine (eine Besonderheit der Hyperbeln)
Symmetrie: Hierbei gibt es ähnlich zu den Potenzfunktionen zwei Fälle:
Wenn n gerade ist, dann ist die Hyperbel achsensymmetrisch zur y-Achse,
wenn n ungerade ist, dann ist die Hyperbel punktsymmetrisch zum Ursprung.
Asymptoten:
Die Graphen der Hyperbel nähern sich:
der x-Achse für , mit dem Grenzwert
der y-Achse für , mit dem Grenzwert
Hyperbeln sind umgekehrt proportionale Zuordnungen
Wurzelfunktion
Auch die Wurzeln kann man graphisch darstellen und es gibt einige Dinge zu beachten.
Die Funktionsgleichung lautet:
Bedenke:
Die Definitionsmenge ist:
Wertemenge:
Nullstellen: (0│0)
Es gibt ein paar Besonderheiten:
- egal welche Wurzel graphisch dargestellt wird, jede Darstellung geht durch den Punkt (1│1).
- Im Punkt (0│0)hat jede graphische Darstellung einer Wurzel eine senkrechte Steigung.
- jede Wurzeldarstellung kann durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden in den Graph einer Potenzfunktion umgewandelt werden (Vertauschen von x und y)