7.1 Introducción
Hermann Grassmann (1809-1877) Alemán
La eliminación puede simplificar, elemento por elemento, un sistema lineal . Por fortuna, también simplifica la teoría. Las preguntas básicas de existencia y unicidad: ¿existe una solución?, ¿no existe ninguna solución?, o bien, ¿existe una infinidad de soluciones? Todas estas preguntas podrán responderse más fácilmente después de aplicar la eliminación. Sin embargo, la eliminación sólo produce un tipo de entendimiento sobre . Nuestro objetivo principal es lograr una comprensión distinta y más profunda. Se trata del corazón del álgebra lineal, para un recién llegado, los cálculos matriciales implican muchos números. Luego de ver el método de eliminación comprendemos que los cálculos involucran vectores (las filas como base del proceso de eliminación, las soluciones de son combinaciones lineales de las columnas de A).
Pasaremos de números a vectores obteniendo un nuevo nivel de comprensión (el nivel más alto) de un sistema de ecuaciones. En lugar de columnas y filas individuales, observaremos los "espacios" que generan estas filas y columnas como vectores. Sin entender los espacios vectoriales y especialmente sus subespacios, no se entiende de manera plena la ecuación
Dado que este capítulo va un poco más profundo, puede parecer un poco más difícil. Eso es natural estamos buscando dentro de los cálculos, para encontrar las "matemáticas." . El capítulo termina con el "Teorema fundamental del álgebra lineal".
Empezamos con un espacio importante, que se denotan por esté consta de todos los vectores columna con 2 componentes. (Se escribe porque los componentes son números reales), las dos componentes del vector se convierten en las coordenadas x y y del punto correspondiente. Las tres componentes de un vector en proporcionan un punto en el espacio tridimensional. El espacio unidimensional es una recta. Lo importante para el álgebra lineal es que la extensión a n dimensiones es directa. Para un vector en sólo se requieren siete componentes, incluso si es difícil visualizar la geometría. En todos los espacios vectoriales son posibles dos operaciones:Siempre es posible sumar dos vectores y multiplicar un vector por un escalar, en otras palabras puede trabajarse con combinaciones lineales
Un espacio vectorial real es un conjunto de vectores que es cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación por números reales (es decir bajo combinaciones lineales). La suma y la multiplicación deben producir vectores en el espacio.Un subespacio de un espacio vectorial es un conjunto no vacío que satisface los requisitos de un espacio vectorial: las combinaciones lineales permanecen en el subespacio.
i) Si se suman dos vectores cualesquiera en el subespacio, está en el subespacio.
ii) Si cualquier vector del espacio se multiplica por cualquier escalar c, está en el subespacio.
Ejemplo 1
Considere todos los vectores en cuyas coordenadas están ente -10 y 10. Este subconjunto No es un subespacio ni la suma ni el producto por escalar son cerrados
Ejemplo 2
Considere todos los vectores en cuyas componentes son positivas o cero. Este subconjunto es
el primer cuadrante del plano x-y; las coordenadas satisfacen No es
un subespacio, aunque contiene al cero, y la adición permanece dentro del subconjunto, Se
viola la regla ii), ya que si el escalar es c=-1 y el vector es , entonces el múltiplo
está en el tercer cuadrante, no en el primero.
Si se incluye el tercer cuadrante junto con el primero, la multiplicación por un escalar está bien. Todo múltiplo permanece en este subconjunto. No obstante, ahora se viola la regla i), ya que al sumar se obtiene , que no está en ninguno de los cuadrantes mencionados. El menor subespacio que contiene al primer cuadrante es todo el
plano.
Ejemplo 3
Empiece por considerar el espacio vectorial de todas las matrices de 3 por 3. Un subespacio posible es el conjunto de las matrices triangulares inferiores. Otro es el conjunto de las matrices simétricas. A + B y cA son triangulares inferiores si A y B son triangulares inferiores, y son simétricas si A y B son simétricas. Por supuesto, la matriz cero, está en ambos subespacios.