Kreise auf konfokalen Quadriken
... oder warum ist der Schnittwinkel der Kreisebenen mit den Koordinaten-Ebenen konstant?
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 15.Februar 2021 Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebra-books bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden (12. 02 2021)
Gleichungen des Typs- Im Schnitt mit der -Ebene sind die Brennpunkte und der Scheitel mit ,
- Im Schnitt mit der -Ebene sind zusätzlich die Brennpunkte mit vorgegeben.
Allgemein entstehen Kreise auf DARBOUX Cycliden als Schnitt mit doppelt-berührenden Kugeln.
Für die konfokalen Quadriken oben sind die doppelt-berührenden Kugeln einfach zu konstruieren:
für die einzelnen Kegelschnitte in den Koordinatenebenen gibt es jeweils 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen:
diese Kreise sind symmetrisch zu einer der beiden Achsen und berühren in gegenüberliegenden Punkten.
Erweitert werden diese Kreise zu doppelt-berührenden Kugeln, orthogonal zur Koordinatenebene.
Einige dieser Kugeln berühren und schneiden die Quadrik nur in den Berührpunkten.
Andere jedoch schneiden in 2 Kreisen durch die Berührpunkte - und erkennbar schneiden die Kreisebenen die Koordinatenebenen unter konstantem Winkel.
Ein interessantes Phänomen: die Berührpunkte sind mitunter nicht reell, dennoch sind die doppelt-berührenden
Kugeln reell und sie schneiden die Quadrik in reellen Kreisen!
Bemerkenswert vor allem: obwohl man die doppelt-berührenden Kugeln auf unterschiedliche Weisen konstruieren kann,
ergeben sich stets dieselben 2 Kreisscharen, nur die Berührpunkte unterscheiden sich!
Die zu den Koordinatenebenen orthogonalen Ebenen durch die Tangenten an die ebenen Kegelschnitte sind möbiusgeometrisch doppelt-berührende "Kugeln" durch . Dieser Punkt ist sowohl ein Doppel-Punkt aller Quadriken als auch ein doppelt-zählender Brennpunkt: dies erklärt sich, wenn man Kegelschnitte an Kreisen invertiert!
Für die Ellipsoiden und die 2-schaligen Hyperboloide berühren und schneiden die Tangential-Ebenen nur in den Berührpunkten.
Für die 1-schaligen Hyperboloide erhält man als Schnitt die erzeugenden Geraden.
Warum sind die Kreise in den beiden Kreisscharen auf Quadriken parallel?
Eine einfache Antwort ist uns nicht bekannt.
Eine Antwort erfordert Wissen darüber, was Kreise mit Kegelschnitten zu tun haben! (siehe die kurze Erklärung unten).
Konfokale Kegelschnitte (Ellipsen, Hyperbeln) lassen sich deuten als Interferenz-Kurven zweier punktförmiger Kreiswellen:
die 2 Brennpunkte sind die Quellen der konzentrischen Kreiswellen, die Überlagerung sind die Ellipsen, die sich in Richtung
der Hyperbeln ausbreiten. Das Ziel (die "Senke") ist der Punkt : ein doppelter Brennpunkt.
In den Punkten, in welchen sich die 2 Kreise aus den verschiedenen Kreisbüscheln schneiden, gibt es
2 Winkelhalbierende-Kreise, wie stets bei Winkelhalbierenden: orthogonal!
Diese Kreise sind die doppelt-berührenden Kreise der hindurchgehenden Ellipse bzw. Hyperbel.
Wellen sind in unserer Welt selten nur eben: konfokale Quadriken sind die räumliche Fortsetzung der konfokalen Kegelschnitte!
Bizirkulare Quartiken sind spezielle Kurven 4. Ordnung mit 4 verschiedenen Brennpunkten,
die entweder konzylisch sind (2-teiliger Fall), oder spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen (1-teiliger Fall).
Konfokale bizirkulare Quartiken lassen sich ebenfalls mit Kreisbüscheln beschreiben:
Im konzyklischen Fall kann man aus den 4 Brennpunkten auf 3 Weisen 2 Kreisbüschel-Paare bilden.
In den Schnittpunkten zweier solcher Kreise aus verschiedenen Büscheln gibt es wieder die orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreise;
diese sind doppelt-berührende Kreise der bizirkularen Quartiken.
Konfokale bizirkulare Quartiken sind Lösung spezieller elliptischen Differential-Gleichungen.
Konfokale Kegelschnitte sind nur Spezialfälle dieser Kreis-Geschichten.
Sucht man nach Literatur zu bizirkularen Quartiken, so findet man überwiegend Bücher über Starkstrom-Technik!
Diese Kurven haben wohl etwas mit Wellen zu tun, elektro-magnetisch ist ja ebenfalls orthogonal!
Räumlich fortgesetzt hat man dazu die konfokalen DARBOUX Cycliden zu untersuchen!