Nullstellen und Produktform
3. Kapitel: Lernziele
Eure Lernziele werden sein, die Nullstellen von quadratischen Funktionen zu bestimmen und in diesem Zusammenhang, die Darstellungsform Produktform kennenzulernen. Nach diesem Kapitel wirst du drei Darstellungsformen von quadratischen Funktionen kennen. Diese wirst du voneinander abgrenzen und vergleichen können. Das Ziel muss sein, dass du bei jeder Aufgabe weißt, welche Darstellungsform du benutzen sollst.
Nutze in diesem Kapitel ebenfalls das dazugehörige Arbeitsblatt, um die Aufgaben zu lösen.
Einstiegsaufgabe: Ballwurf Nr. 2
Im letzten Kapitel habt ihr eine Funktion für die Flugbahn eines Ballwurfes gefunden: Eine weitere wichtige Frage stellt sich, wenn man die Weite des Wurfes betrachtet. Wie weit fliegt der Ball? Stelle eine Vermutung auf, wie weit der Ball fliegt. Betrachte zudem, ob es ein Zusammenhang zwischen der Höhe und der Weite des Ballwurfes gibt. Du kannst dazu das Applet benutzen, um die Funktion zu visualisieren.Welche Aussagen in Hinblick auf die Ballwurf Aufgabe treffen zu?
Begründe deine Antwort und beschreibe in eigenen Worten, was eine Nullstelle ist. Überlege dir zusätzlich, wie sich die Funktionswerte rund um eine Nullstelle verändern. Formuliere dazu einen Merksatz.
Infotext: Lösen von quadratischen Gleichungen
Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion nutzt man die abc-Formel oder die pq-Formel. Die zu lösende Gleichung lautet:
pq-Formel:
Hinweis: Ist die Gleichung in der Form gegeben, muss die gesamte Gleichung durch a geteilt werden. Erst dann kann die p,q- Formel angewendet werden.
bzw.
Mitternachtsformel:
Beim Lösen von quadratischen Gleichungen kann es, keine, eine oder zwei Lösungen geben. Welcher Fall entritt, hängt von dem Vorzeichen unter der Wurzel ab, d.h. vom Term unter der Wurzel (= Diskriminante)
Aufgabe 1- Fortführung Einstiegsaufgabe Ballwurf Nr. 2
Arbeitsanweisung:
Berechne mit Hilfe der pq- oder Mitternachtsformel, wie weit der Ball aus der Einstiegsaufgabe geworfen wurde.
Welche Erkenntnisse ziehst du aus der Lösung?
Die Lösung kannst du dir anschließend anzeigen lassen.
Aufgabe 2
Arbeitsanweisung:
Ordne folgende Aussagen den passenden Funktionen zu.
Überprüfe dann rechnerisch mit der pq- oder Mitternachtsformel deine Lösung.
Wie viele Nullstellen hat eine Funktion, wenn...
... D=0 ist:
... D<0 ist:
... D> 0 ist:
Halte die 3 Fälle als Regel auf dem Arbeitsblatt fest.
Hinweis:
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel!
Du kannst dir nach der Bearbeitung die Lösung anzeigen lassen.
Aufgabe 3
Löse im Buch auf S.52 Nr.6
Die Lösungen dazu findest du auf S.265
Aufgabe 4
Arbeitsanweisung: Finde die identische Funktion zu... 1. 2. Du kannst als Hilfe auch das zu dieser Aufgabe zugehörige GeoGebra Applet nutzen, um dir die Funktionen anzeigen zu lassen.
Begründe deine Antwort und versuche daraus eine allgemeine Darstellungsform für die Produktform, in welcher die Funktionen h(x), k(x), l(x) und m(x) angegeben sind, herzuleiten! Anschließend kannst du dir die Lösung anzeigen lassen und als Merksatz auf das Arbeitsblatt übertragen.
Hilfestellung:
Betrachte die Nullstellen der Funktionen und versuche einen Zusammenhang zwischen der Darstellungsform der Funktionen h(x),k(x),l(x) und m(x) zu finden.
Infotext: Umwandlung von Hauptform in Produktform
Um den Funktionsterm von der Hauptform in die Produktform umzuwandeln, benötigt man die Nullstellen. Diese lassen sich mit Hilfe der pq- oder abc-Formel ermitteln.
Dann wandelt man die Hauptform in die Produktform nach obigem Schema um.
Jedoch gibt es einige Fälle, die ein direktes Umschreiben möglich machen.
1. Man kann x ausklammern:
Bei einem Funktionsterm fehlt das Absolutglied: z.B. . Eine Nullstelle ist in diesem Fall . Die andere Nullstelle wird aus dem Klammerglied ermittelt d.h. x-2=0 und demnach ist .
2. Man kann die dritte binomische Formel anwenden, d.h. die Hauptform lässt sich komplett in die dritte binomische Formel umschreiben. z.B.: , damit sind die Nullstellen .
3. Auch mit den ersten beiden binomischen Formeln kann man die Produktform erhalten, z.B.: . Dann ist sofort rauszulesen, dass eine doppelte Nullstelle von f(x) ist.
Aufgabe 5
DIe Gateway Arch in St.Louis, Missouri, ist laut Reiseführer ein parabelförmiger Bogen aus rostfreiem Stahl. Der Bogen der Gatway-Arch wird durch eine quadratische Funktion beschrieben.
Die Funktion lautet:
a) Wie hoch ist das Gateway Arch?
b) Wie breit ist das Gateway Arch am Boden?
Arbeitsanweisung:
Bearbeite die Aufgaben und erstelle eine Skizze der Funktion auf dem Arbeitsblatt.
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir im zu dieser Aufgabe zugehörige GeoGebra-Applet die Funktion anzeigen lassen (Klicke dazu mit der Maus auf den grünen Punkt der Funktion am linken Seitenrand).
Die Lösung der Gateway-Aufgabe kannst du dir anzeigen lassen.
Aufgabe 6
Bearbeite im Buch auf S.52 folgende Aufgaben:
Nr. 7
Die Lösung findest du auf S.265.
Aufgabe 7
Zum Abschluss der Einheit sollst du die drei Darstellungsformen miteinander vergleichen. Erstelle zuerst eine Skizze auf dem Arbeitsblatt. Schaue dir die Beispielfunktionen an und fülle als nächstes das zu dieser Aufgabe zugehörige Merkblatt aus. Überlege dir, welche besonderen Punkte direkt aus der angegebenen Darstellungsform abgelesen werden können.
Wichtig bei der Aufgabe ist, dass du dir klar machst, wann du in Zukunft, welche Darstellungsform anwenden musst.
Hilfestellung:
Falls du eine Hilfestellung benötigst, schau dir die Funktionen nacheinander im GeoGebra Applet an. Lasse dir aber immer nur eine Funktion anzeigen. Du kannst die Funktion wieder ausschalten, indem du auf den Punkt der Funktion im linken Seitenrand klickst.
Lösung: Abgrenzung Hauptform-Scheitelform-Produktform
Ende Kapitel 3: Zusatzaufgabe
Bearbeite im Buch auf S. 52 die Nr. 8. Die Lösung findest du auf S. 265.
Falls du dann damit fertig bist, helfe deinen Mitschülern das Kapitel durchzuarbeiten.