Legfeljebb hány részre osztja ...

  1. az egyenest n pontja;
  2. a síkot n egyenese;
  3. a teret n síkja;
  4. a k-dimenziós teret n darab  k-1 dimenziós hitpersíkja ("Elvetemült geométereknek").

(Dr. Szilassi Lajos javaslatára)



1.

Tétel: az egyenest n pontja n + 1 részre (n -1 szakasz és két félegyenes) osztja. ezt így jelöljük:

. (Az R alsó indexe a dimenziószámra utal.) A tétel elég nyilvánvaló, aki akar, az gondolkodjon el a bizonyításon!

2.

Maximális számú síkrész akkor jön létre, ha az egyenesek között nincsenek párhuzamosak, különböző pontokban metszik egymást. A fenti GeoGebra fájl alapján a keletkezett síkrészek száma:
Image
Ismerősök ezek a számok? Egészítsük ki a fenti táblázatot a háromszögszámok sorával!
Image

A sejtés ...

ezek alapján már adódik: .

A bizonyítás ...

például teljes indukcióval (is) történhet. n= 1-re igaz az állatás. Tegyük fel, hogy adott a síkon n páronként nem párhuzamos egyenes, amelyek különböző pontokban metszik egymást, és részre ontják a síkot. Egy (n + 1). egyenes egyikükkel sem párhuzamos és nem megy át a korábbiak egyik metszéspontján sem. Ezt az egyenest a korábbiak különböző pontokban metszik, és - a korábbiak szerint részre bontják. Minden így kapott egyenes rész két részre bont egy korábbi síkrészt. Ezek szerint: Felhasználva az indukciós feltételt és a korábbiakat, Az állítást bebizonyítottuk.

3.

Akkor osztja maximális számú részre a teret n sík, ha nincsenek közöttük párhuzamosak, különböző egyenesekben metszik egymást. és e metszésvonalak is különböző pontokban metszik egymást. Legyen adott n ilyen sík! Vegyünk hozzá egy (n + 1). síkot úgy hogy a korábbiakat a korábbiaktól különböző egyenesekben messe, és ne menjen át a korábbi metszésvonalak metszéspontjain! Ezt a síkot a korábbi síkok n egyenesben metszik, és a korábbiak szerint azt részre osztják. Minden ilyen síkrész két részre oszt egy korábban már meglevő síkrészt. Ezek szerint igaz a következő rekurzió: . Nyilvánvaló, hogy . Ennek és a korábbiaknak felhasználásával kapjuk, hogy
Image
Egy jó sejtés kéne. Ennek megtalálásában segíthet a GeoGebra görbeillesztési funkciója:
Csak nem igaz az, hogy: ? A bizonyítást az olvasóra bízzuk.

4.

"Elvetemült geométer" nem lévén, a korábbiak alapján csak egy rekurzió felvetését kockáztatjuk meg: . (1)
Ha ezt a rekurziót helyesnek fogadjuk el, akkor a következőkre jutunk:
Image
A sejtés megtalálásához megint illesszünk görbét!

Sejtés:

Ha igaz, akkor itt tartunk most.

Lehet, hogy érdemes böngészni.

Image

Dr. Németh Zoltán tanár úr javaslatára ...

vizsgáljuk a következő sorozatot! , ha .

A sorozat első néhány tagja:

Sejtés a fentiek alapján:

, ha A bizonyítás - bizonyára - történhet az (1) rekurzió felhasználásával. És még egy kérdés Dr. Németh Zoltán tanár úrtól: Az rész között hány korlátos van?
Image

Források:

  1. http://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/INDUKCIO/III%20fejezet.pdf
  2. Pólya György: Indukció és analógia (Gondolat kiadó 1988. 60. oldal)