Histoire de sommes...

Auteur :
Jean Roussie
Thème :
Fractions
L'algèbre permet parfois des simplifications surprenantes et des calculs qui semblent compliqués peuvent s'avérer au final très simples. Prenons l'exemple de la somme suivante : Dans , l'indice indique le nombre de termes de la somme. Ainsi on a ; ; et ainsi de suite...

Calcule les 4 premiers termes de la suite : ; ; et .

Je prétends que calculer n'importe quel terme de la suite "à la main", par exemple est extrèmement simple et rapide. Nous allons voir comment.

Tout d'abord commence par calculer les différences suivantes : ; ; ; ; Puis explique comment trouver très simplement les résultats de ces soustractions.

Dans le cas général où est un nombre entier, comment peut s'écrire la solution de la différence ?

Dans le tableur ci-dessous, complète les cellules pour faire calculer les expressions définies dans l'en-tête des colonnes jusqu'à . Puis rajoute une colonne à droite pour faire calculer la somme recherchée jusqu'à . Remarque : Tu peux faire afficher le résultat de calculs sous forme de fractions en sélectionnant les cellules concernées et en cliquant sur "Symbolique" dans l'onglet Algèbre des préférences de cellules.

A vu de ce qui précède, comment aurais-tu pu calculer , , et très rapidement ? Déduis-en , et .

Dans le cas général où est un nombre entier supérieur à 1, explique comment calculer rapidement ?

A quoi est donc égale ?