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Kreise einer Darboux Cyclide

Autor:
Walter Füchte
Thema:
Fläche, Kreis, Körper, Kugel, Symmetrie

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken (März 2021) Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)

Auf der Darboux Cyclide im Applet liegen 3 Scharen von Kreisen: ( siehe auch die Seite zuvor!)
  • Außer den Kreisen durch die beiden singulären Doppelpunkte gibt es 2 weitere Scharen von Kreisen, die nicht so leicht zu erkennen sind.
Wie findet man Kreise auf Darboux Cycliden? Eine die Cyclide doppelt-berührende Kugel berührt die Cyclide in einem Kreis oder schneidet sie in 2 Kreisen. Beispiele findet man leicht beim Ring-Torus. Doppelt-berührende Kugeln findet man, in dem man die doppelt-berührenden Kreise in Symmetrie-Ebenen oder Symmetrie-Kugeln bestimmt. Die -Ebene ist eine Symmetrie-Ebene der Cyclide oben. Der Schnitt mit der Ebene ist eine 2-teilige bizirkulare Quartik. Diese besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetrie-"Kreise": die Achsen, den Einheitskreis und einen imaginären Kreis. Die Spiegelung an diesem Kreis entsteht durch die Folge der Spiegelungen an den Achsen und am Einheitskreis. Zu jeder Spiegelung gehört eine Schar doppelt-berührender Kreise. Diese Kreise kann man zu doppelt-berührenden Kugeln fortsetzen. Die -Achsen-symmetrischen bzw. die -Achsen-symmetrischen Kreise ergeben Kugeln, welche die Cyclide von Innen, bzw. von Außen in 2 Punktkreisen berühren. Die zum imaginären Symmetrie-Kreis gehörenden Kreise ergeben Kugeln, welche in den Kreisen durch die Punkte berühren. Die zum Einheitskreis orthogonalen doppelt-berührenden Kreise liefern Kugeln, welche die Cyclide in 2 verschiedenen Kreisen durch die Berührpunkte auf der Quartik schneiden! Hierbei ist bemerkenswert, dass die doppelt-berührende Kugel oft auch dann in 2 reellen Kreisen schneidet, wenn die Berührpunkte n i c h t reell sind! Oben kann man sich die doppelt-berührenden Kreise- und Kugel-Scharen anschauen. Die zum Einheitskreis symmetrischen Berührkugeln werden extra genauer angezeigt. Die Konstruktionen verwenden die Leitkreise der bizirkularen Quartik.

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