Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Разбор планиметрической задачи № 4.

Источник

По материалам сборника «Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ.» Учебное пособие. / А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса. — Москва: Интеллект-Центр, 2015. — 128 с.

Условие ( Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие., стр. 87)

Сторона прямоугольника касается некоторой окружности в точке . Продолжение стороны пересекает окружность в точках и , причём точка лежит между точками и . Прямая касается окружности, а точка лежит на прямой . а) Докажите, что . б) Известно, что и . Найдите сторону .

Подготовительный материал:

I. Параллельные прямые и их свойства.

Параллельные прямые и их свойства

II. Угол между касательной и хордой (Геометрия. 10—11 классы, стр. 187). Изучение материала.

Теорема 1. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Определение (Геометрия. 7-9 классы, стр. 166): Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Свойство: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Касательная к окружности.

Вписанный угол

Теорема 2 (Геометрия. 10—11 классы, стр. 187). Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.

Угол между касательной и хордой

Доказательство:

1)Рассмотрим оркужность с центром в точке О, произвольного радиуса. Пусть из точки C к данной окружности проведена касательная в точку В. Проведем произвольную хорду BD. В теореме просят доказать, что получившийся угол DBC измеряется половиной , находящейся внутри данного угла. 2) Проведем диаметр BA и рассмотрим . является вписанным, а значит, равен половине центрального угла , опирающего на туже дугу. Т.е. . 3) Докажем теперь, что угол . Обозначим угол . Заметим, что , как вписанный угол опирающийся на диаметр. Тогда (по сумме углов ). А так как, угол между касательной и радиусом в точку касания также равен , то получаем следующее равенство: . Теорема доказана, однако, лишь в частном случае, когда острый. Рассмотрите, пожалуйста, выше указанный чертеж или его интереактивный вариант. Перенесите точку D на правую часть дуги и докажите верность данной теоремы и для полученного случая. (Подсказка: удобнее всего использовать знания о сумме смежных углов).