Gli integrali definiti: concetto e definizione
In questo capitolo introduciamo la seconda parte di questo argomento, che apparentemente è completamente scollegato da quello degli integrali indefiniti.
Per capire il problema che si propone di risolvere lo strumento dell'integrale definito, vediamo un esempio nella seguente animazione.
CONCETTO E DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO
Vediamo di fare il punto su quanto introdotto dall'animazione.
Il concetto di integrale definito nasce dalla necessità di calcolare la misura dell'area sottesa al grafico di una funzione, perché essa è legata a grandezze associate alla funzione stessa. Più precisamente, l'integrale definito indica la misura dell'area compresa tra l'asse delle ascisse ed il grafico della funzione.
Questo calcolo viene ottenuto tramite un'approssimazione, in cui la funzione originale viene sostituita con una funzione costante a tratti; il valore assunto in ogni tratto è uno di quelli assunti dalla funzione in quell'intervallo ed al proposito si possono fare varie scelte. In questo modo l'area cercata è pari alla sommatoria di contributi, ognuno dei quali è l'area di un rettangolino compreso tra un tratto di funzione e l'asse delle ascisse.
Si vede anche graficamente che questa approssimazione è tanto più accurata tanto più frequente è la campionatura della funzione, ovvero tanto più numerosi e stretti sono gli intervalli in cui si registra l'effettivo valore della funzione originale e lo si usa per costruire la funzione definita a tratti. Puoi osservare questo aspetto al seguente indirizzo, dove ti sarà possibile definire una funzione qualsiasi ed impostare e variare a piacimento le sue modalità di approssimazione.
http://www.shodor.org/interactivate/activities/Integrate/
[Primi sul tasto Integrate! per vedere l'approssimazione; puoi poi modificare i vari parametri, come il numero di intervalli, per vedere l'effetto]
Per rendere questa approssimazione sempre più precisa e farla tendere al risultato esatto, dovremo avere sempre più intervalli, ognuno dei quali sempre più stretto. In altre parole si tratta di considerare il limite di questa espressione per l'ampiezza degli intervalli che tende a zero. Questo limite è solo simbolico, cioè ne è chiaro il significato ma non lo si può calcolare matematicamente: dovremo giungere al risultato per altra via. Il ragionamento porta tuttavia all'introduzione di una nuova simbologia, spiegata nell'animazione.
La scrittura indica l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse delle ascisse, nel tratto compreso tra i valori e , ed è chiamato INTEGRALE DEFINITO di tra e .
Vedremo come è possibile calcolarlo, e come tale calcolo sia direttamente collegato alle primitive della funzione , cioè al suo integrale indefinito.